Tóm tắt ôn tập kiến thức chương 1 - Kinh tế lượng (NEU)

1.1. MÔ HÌNH VÀ MỘT SỐ KHÁI NIỆM

1.1.1. Mô hình hồi quy

Mô hình hồi quy tuyến tính dùng để đánh giá mối quan hệ phụ thuộc của một biến (biến phụ thuộc - Y) vào một hoặc nhiều biến khác (biến độc lập - X). Mối quan hệ này không phải là quan hệ hàm số tất định mà bao gồm cả yếu tố ngẫu nhiên. 
Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến tổng quát: $Y_i = \beta_1 + \beta_2X_i + u_i$

Các thành phần của mô hình: 
- Y (Biến phụ thuộc): Biến được giải thích, biến phản ứng (Vế trái). 
- X (Biến độc lập): Biến giải thích, biến điều khiển (Vế phải). 
- $\beta_1, \beta_2$ (Hệ số hồi quy): Các tham số chưa biết của tổng thể. 
- u (Sai số ngẫu nhiên): Đại diện cho các yếu tố khác ảnh hưởng đến Y ngoài X, không quan sát được.

1.1.2. Hàm hồi quy tổng thể (PRF)

Hàm hồi quy tổng thể phản ánh giá trị trung bình (kỳ vọng) của Y tại mỗi giá trị của X. 
Công thức PRF: $E(Y|X_i) = \beta_1 + \beta_2X_i$

Ý nghĩa các hệ số: 
- $\beta_1$ (Hệ số chặn): Giá trị trung bình của Y khi X = 0. 
- $\beta_2$ (Hệ số góc): Lượng thay đổi trung bình của Y khi X tăng thêm 1 đơn vị. Đây là hệ số quan trọng nhất để đánh giá tác động biên.

1.1.3. Hàm hồi quy mẫu (SRF)

Do không biết tổng thể, ta dùng dữ liệu mẫu để ước lượng PRF. Hàm hồi quy mẫu là ước lượng của hàm hồi quy tổng thể. 
Công thức SRF: $\hat{Y}_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2X_i$ 
Hoặc viết dưới dạng ngẫu nhiên cho từng cá thể: $Y_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2X_i + e_i$

Bảng so sánh PRF và SRF (Rất quan trọng để phân biệt lý thuyết và thực hành):

1.1.4. Tính tuyến tính trong mô hình hồi quy

"Tuyến tính" trong hồi quy nghĩa là tuyến tính theo tham số ($\beta$), không nhất thiết phải tuyến tính theo biến số (X, Y). 
- Ví dụ tuyến tính: $Y = \beta_1 + \beta_2X^2 + u$ hoặc $\ln Y = \beta_1 + \beta_2 \ln X + u$. 
- Ví dụ phi tuyến: $Y = \beta_1 + \beta_2^2 X + u$ hoặc $Y = \frac{1}{\beta_1 + \beta_2 X}$.

1.2. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG OLS

Phương pháp Bình phương bé nhất thông thường (OLS - Ordinary Least Squares) tìm các hệ số $\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$ sao cho tổng bình phương các phần dư (RSS) là nhỏ nhất. 
Hàm mục tiêu cần cực tiểu hóa: $\sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2X_i)^2 \rightarrow \min$

Công thức tính toán các hệ số ước lượng: 
Hệ số góc: $\hat{\beta}_2 = \frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}$ 
Hệ số chặn: $\hat{\beta}_1 = \bar{Y} - \hat{\beta}_2\bar{X}$ 
Trong đó các ký hiệu thường thể hiện sai lệch so với trung bình mẫu: $x_i = X_i - \bar{X}$ ; $y_i = Y_i - \bar{Y}$.

1.3. TÍNH KHÔNG CHỆCH VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ƯỚC LƯỢNG OLS

1.3.1. Các giả thiết của phương pháp OLS

Để các ước lượng OLS là tốt nhất (BLUE), cần thỏa mãn các giả thiết: 
1. Tính ngẫu nhiên: Mẫu được chọn ngẫu nhiên, $Cov(X_i, X_j) = 0$ và $Cov(Y_i, Y_j) = 0$. 
2. Kỳ vọng sai số bằng 0: Tại mỗi giá trị của X, trung bình của sai số ngẫu nhiên bằng 0. $E(u_i|X_i) = 0$. Hệ quả là $E(u)=0$ và $Cov(X,u)=0$. 
3. Phương sai sai số không đổi (Homoscedasticity): Phương sai của u tại mọi giá trị X là như nhau. $Var(u_i|X_i) = \sigma^2$.

1.3.2. Tính không chệch của các ước lượng OLS

Nếu thỏa mãn giả thiết 1 và 2, các ước lượng OLS là ước lượng không chệch: 
$E(\hat{\beta}_1) = \beta_1$ 
$E(\hat{\beta}_2) = \beta_2$ 
Lưu ý: Tính không chệch nghĩa là trung bình của các ước lượng từ nhiều mẫu khác nhau sẽ bằng giá trị thực, không đảm bảo ước lượng từ một mẫu duy nhất sẽ bằng giá trị thực.

1.3.3. Độ chính xác của các ước lượng OLS

Độ chính xác được đo bằng phương sai (Variance) hoặc sai số chuẩn (Standard Error - SE). Phương sai càng nhỏ, ước lượng càng chính xác (hiệu quả).

Công thức Phương sai (Variance): 
Phương sai hệ số góc: $Var(\hat{\beta}_2) = \frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}$ 
Phương sai hệ số chặn: $Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sum X_i^2}{n \sum x_i^2} \sigma^2$

Ước lượng phương sai sai số ngẫu nhiên ($\hat{\sigma}^2$): 
Vì $\sigma^2$ thực tế không biết, ta ước lượng bằng $\hat{\sigma}^2$ từ các phần dư $e_i$: $\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum e_i^2}{n - 2}$ 
Lưu ý sinh viên hay nhầm: Chia cho (n-2) chứ không phải n. Đây là bậc tự do (df), do đã mất 2 bậc tự do để ước lượng $\hat{\beta}_1$ và $\hat{\beta}_2$.

Sai số chuẩn (Standard Error - se): Là căn bậc hai của phương sai ước lượng. 
$se(\hat{\beta}_2) = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{\sum x_i^2}}$

Tính chất đại số quan trọng của OLS (luôn đúng với mọi mẫu): 
- Tổng phần dư bằng 0: $\sum e_i = 0$. 
- Đường hồi quy mẫu luôn đi qua điểm trung bình mẫu $(\bar{X}, \bar{Y})$. 
- Tổng giá trị thực tế bằng tổng giá trị ước lượng: $\sum Y_i = \sum \hat{Y}_i$. 
- Phần dư không tương quan với biến giải thích: $\sum X_i e_i = 0$. 
- Phần dư không tương quan với giá trị ước lượng: $\sum \hat{Y}_i e_i = 0$.

1.4. ĐỘ PHÙ HỢP CỦA HÀM HỒI QUY MẪU - HỆ SỐ XÁC ĐỊNH $R^2$

Hệ số xác định đo lường mức độ phù hợp của mô hình, cho biết biến độc lập giải thích được bao nhiêu % sự biến động của biến phụ thuộc.

Phân rã sự biến động của Y (TSS): $TSS = ESS + RSS$ 
- TSS (Total Sum of Squares): Tổng bình phương sai lệch toàn phần ($\sum (Y_i - \bar{Y})^2$). 
- ESS (Explained Sum of Squares): Tổng bình phương phần được giải thích ($\sum (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2$). 
- RSS (Residual Sum of Squares): Tổng bình phương phần dư ($\sum e_i^2$).

Công thức $R^2$: $R^2 = \frac{ESS}{TSS} = 1 - \frac{RSS}{TSS}$ 
Trong mô hình 2 biến, $R^2$ chính bằng bình phương hệ số tương quan mẫu ($r_{XY}^2$). 
Giá trị: $0 \le R^2 \le 1$.

1.5. MỘT SỐ VẤN ĐỀ BỔ SUNG

1.5.1. Đơn vị đo lường trong phân tích hồi quy

Việc thay đổi đơn vị đo lường (scale) của X và Y sẽ làm thay đổi giá trị của các hệ số ước lượng, nhưng không làm thay đổi ý nghĩa kinh tế và tính chất của mô hình (như $R^2$, t-statistic, P-value).

Bảng tổng hợp tác động của thay đổi đơn vị đo lường: 
Giả sử mô hình gốc: $Y = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2X$

1.5.2. Hệ số chặn và mô hình hồi quy

Ý nghĩa thực tế: Hệ số chặn thường chỉ mang ý nghĩa toán học hoặc kỹ thuật (giá trị của Y khi X=0). Trong nhiều trường hợp kinh tế (ví dụ: Thu nhập = 0 thì Tiêu dùng = ?), việc giải thích hệ số chặn có thể vô nghĩa hoặc phi thực tế. 
Vai trò kỹ thuật: 
- Đảm bảo trung bình phần dư bằng 0. 
- Đảm bảo đường hồi quy đi qua trung bình mẫu. 
- Đảm bảo công thức tính $R^2$ chuẩn xác.

Lưu ý quan trọng về mô hình không có hệ số chặn (Hồi quy qua gốc tọa độ): 
Nếu ép $\beta_1 = 0$ (mô hình $Y = \beta_2X + u$): 
- $R^2$ có thể nhận giá trị âm và mất ý nghĩa thông thường. 
- Tổng các phần dư $\sum e_i$ có thể khác 0. 
- Do đó, luôn nên giữ hệ số chặn trừ khi có lý do lý thuyết cực kỳ mạnh mẽ.