Tóm tắt kiến thức ôn tập chương 7 - Kinh tế lượng (NEU)

7.1. HẬU QUẢ CỦA TỰ TƯƠNG QUAN TRONG MÔ HÌNH HỒI QUY

Xét mô hình hồi quy chuỗi thời gian:
$Y_{t}=\beta_{1}+\beta_{2}X_{2t}+...+\beta_{k}X_{kt}+u_{t}$ (7.1.1)

7.1.1. Hiện tượng tự tương quan

Hiện tượng tự tương quan xảy ra khi sai số ngẫu nhiên $u_t$ tại các thời điểm khác nhau có tương quan với nhau. 
- Tự tương quan bậc 1 (AR(1)): Sai số $u_t$ phụ thuộc vào sai số ngay trước nó:
$u_{t}=\rho_{1}u_{t-1}+\epsilon_{t}$ (với $\epsilon_t$ là nhiễu trắng, $|\rho_1| < 1$)

Phân loại tự tương quan bậc 1:
+ Tự tương quan dương ($\rho_1 > 0$): Quan hệ cùng chiều. Nếu $u_{t-1}$ lớn thì khả năng $u_t$ cũng lớn. Thường gặp trong các chuỗi số liệu kinh tế.
+ Tự tương quan âm ($\rho_1 < 0$): Quan hệ ngược chiều. Các giá trị xen kẽ lớn/bé liên tục (hình răng cưa).

- Tự tương quan bậc p (AR(p)): Dạng tổng quát hơn:
$u_{t}=\rho_{1}u_{t-1}+...+\rho_{p}u_{t-p}+\epsilon_{t}$

7.1.2. Hậu quả của tự tương quan

Khi các giả thiết khác thỏa mãn nhưng có tự tương quan, hậu quả xảy ra như sau:

1. Tính không chệch và tính vững của ước lượng OLS:
- Các ước lượng hệ số hồi quy ($\hat{\beta}$) vẫn là ước lượng không chệch và vững (tính chất tuyến tính không bị ảnh hưởng).

2. Tính hiệu quả và phương sai:
- Ước lượng OLS không còn là ước lượng hiệu quả nhất (không còn là BLUE).
- Công thức tính phương sai của hệ số ước lượng OLS bị chệch (không phản ánh đúng phương sai thực).
- Cụ thể, trong trường hợp tự tương quan dương ($\rho > 0$), phương sai ước lượng OLS thường bé hơn phương sai thực:
$var(\hat{\beta}_{OLS}) < var(\hat{\beta}_{Thuc})$

3. Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy:
- Do phương sai bị ước lượng chệch (thường là nhỏ hơn thực tế), dẫn đến sai số chuẩn (se) bị nhỏ đi.
- Thống kê t ($t = \hat{\beta}/se$) sẽ lớn hơn thực tế $\rightarrow$ Dễ dẫn đến bác bỏ giả thuyết $H_0$ sai lầm (kết luận biến có ý nghĩa thống kê trong khi thực tế có thể không).
- Khoảng tin cậy ước lượng được sẽ hẹp hơn so với thực tế, gây ra sự tin cậy giả tạo.

Tóm tắt hậu quả trong Hộp 7.1:
- Phương sai hệ số ước lượng OLS bị chệch.
- Khoảng tin cậy không đáng tin (thường hẹp hơn).
- Kiểm định t, F không đáng tin cậy.

7.2. PHÁT HIỆN TỰ TƯƠNG QUAN

7.2.1. Xem xét đồ thị phần dư

Dựa vào đồ thị phần dư $e_t$ (ước lượng của $u_t$):
- Đồ thị rải điểm ($e_t$ theo $e_{t-1}$): Nếu các điểm phân bố theo xu hướng đường thẳng đi lên (tương quan dương) hoặc đi xuống (tương quan âm).
- Đồ thị theo thời gian:
+ Nếu $e_t$ đổi dấu chậm, các giá trị dương/âm đi theo cụm $\rightarrow$ Tự tương quan dương.
+ Nếu $e_t$ đổi dấu liên tục (kiểu răng cưa) $\rightarrow$ Tự tương quan âm.

7.2.2. Kiểm định hiện tượng tự tương quan bậc 1

Xét giả thuyết: $H_0: \rho = 0$ (Không có tự tương quan); $H_1: \rho \neq 0$.

a. Trường hợp các biến giải thích đều là biến ngoại sinh chặt

Nghĩa là trong mô hình không chứa biến trễ của biến phụ thuộc (ví dụ: không có $Y_{t-1}$ ở vế phải).

1. Kiểm định t:
- Bước 1: Hồi quy mô hình gốc, lấy phần dư $e_t$.
- Bước 2: Hồi quy phụ $e_{t}=\rho e_{t-1}+v_{t}$.
- Bước 3: Kiểm định t cho hệ số $\rho$. Nếu t có ý nghĩa thống kê $\rightarrow$ Bác bỏ $H_0$.

2. Kiểm định Durbin - Watson (DW):
- Thống kê d:
$d=\frac{\sum_{t=2}^{n}(e_{t}-e_{t-1})^{2}}{\sum_{t=1}^{n}e_{t}^{2}} \approx 2(1-\hat{\rho})$
- Giá trị của d nằm trong khoảng $[0, 4]$.

Bảng quy tắc ra quyết định Durbin-Watson:

Lưu ý quan trọng cho sinh viên (Điều kiện áp dụng DW):
+ Mô hình phải có hệ số chặn (intercept).
+ Biến giải thích phải là ngoại sinh chặt (không chứa $Y_{t-1}$).
+ Dữ liệu liên tục, không ngắt quãng.
+ Chỉ kiểm định được tự tương quan bậc 1.

b. Trường hợp có biến giải thích không phải là biến ngoại sinh chặt

Khi mô hình có chứa biến trễ của biến phụ thuộc ($Y_{t-1}$), kiểm định DW bị chệch. Cần dùng các kiểm định sau:

1. Kiểm định t (trên hồi quy mở rộng):
- Hồi quy $e_t$ theo các biến độc lập X và $e_{t-1}$.
- Kiểm định t cho hệ số của $e_{t-1}$.

2. Kiểm định Durbin-h:
- Dùng thống kê h:
$h = (1 - \frac{d}{2})\sqrt{\frac{n}{1 - n \cdot var(\hat{\beta}_{Y_{t-1}})}}$
- Trong đó: $d$ là thống kê DW, $var(\hat{\beta}_{Y_{t-1}})$ là phương sai ước lượng của hệ số biến trễ $Y_{t-1}$.
- Quy luật: h tuân theo phân phối chuẩn hóa $N(0,1)$. So sánh h với $\pm 1.96$ (mức 5%).
- Lưu ý: Kiểm định h không tính được nếu biểu thức trong căn âm.

7.2.3. Phát hiện tự tương quan bậc bất kỳ (Bậc p)

Xét giả thuyết $H_0: \rho_1 = \rho_2 = ... = \rho_p = 0$.

1. Kiểm định F:
- Hồi quy phụ $e_t$ theo các biến X và $e_{t-1}, ..., e_{t-p}$.
- Dùng kiểm định F để kiểm định ý nghĩa thống kê của các hệ số trễ phần dư.

2. Kiểm định Breusch-Godfrey (BG hay LM Test):
- Là kiểm định tổng quát nhất, áp dụng được cho cả trường hợp có biến trễ phụ thuộc và tự tương quan bậc cao.
- Bước 1: Hồi quy mô hình gốc $\rightarrow$ thu $e_t$.
- Bước 2: Hồi quy phụ: $e_t$ theo các biến X ban đầu và $e_{t-1}, e_{t-2}, ..., e_{t-p}$.
- Bước 3: Tính thống kê $LM = (n-p)R^2_e$ (với $R^2_e$ từ hồi quy phụ).
- Bước 4: So sánh LM với giá trị tới hạn $\chi^2_{\alpha}(p)$. Nếu $LM > \chi^2$ $\rightarrow$ Bác bỏ $H_0$ (có tự tương quan).

7.3. KHẮC PHỤC KHI CÓ HIỆN TƯỢNG TỰ TƯƠNG QUAN

7.3.1. Phương pháp bình phương bé nhất tổng quát (GLS - FGLS)

Áp dụng khi các biến giải thích là ngoại sinh chặt.

a. Trường hợp tự tương quan bậc 1

Mô hình biến đổi (Sai phân tổng quát / Tựa sai phân):
$Y_{t}^{*} = \beta_{1}(1-\rho) + \beta_{2}X_{2t}^{*} + \epsilon_{t}$
Với: $Y_{t}^{*} = Y_{t} - \rho Y_{t-1}$ và $X_{2t}^{*} = X_{2t} - \rho X_{2(t-1)}$.

1. Trường hợp đã biết $\rho$ (GLS):
- Dùng OLS ước lượng mô hình biến đổi trên.
- Xử lý quan sát đầu tiên (do mất quan sát khi lấy trễ): Phép biến đổi Prais-Winsten (nhân với $\sqrt{1-\rho^2}$) để giữ lại quan sát đầu.

2. Trường hợp chưa biết $\rho$ (FGLS - GLS thực hành):
Cần ước lượng $\hat{\rho}$ từ dữ liệu mẫu:
- Cách 1: Dựa vào thống kê DW: $\hat{\rho} \approx 1 - \frac{d}{2}$.
- Cách 2: Hồi quy phụ $e_t = \rho e_{t-1} + v_t$ để tìm $\hat{\rho}$ (Phương pháp Cochrane-Orcutt).
- Cách 3: Ước lượng lặp nhiều bước (Iterative) cho đến khi $\rho$ hội tụ.

b. So sánh OLS và FGLS

- Điều kiện để FGLS là ước lượng vững: $cov(u_t, X_{t-1}) + cov(u_{t-1}, X_t) = 0$.
- Nếu FGLS và OLS cho kết quả hệ số quá khác biệt $\rightarrow$ Nghi ngờ FGLS không vững (do điều kiện trên không thỏa mãn) $\rightarrow$ Nên dùng OLS (với sai số chuẩn vững) thì an toàn hơn.

7.3.2. Phương pháp lấy sai phân

- Áp dụng khi chuỗi không dừng, tương đương trường hợp $\rho = 1$.
- Mô hình sai phân cấp 1:
$\Delta Y_t = \beta_2 \Delta X_{2t} + \epsilon_t$
(Lưu ý: Mô hình này không còn hệ số chặn $\beta_1$ gốc).
- Phương pháp này làm giảm đáng kể tự tương quan nếu $\rho$ gần bằng 1.

7.3.3. Sử dụng phương sai hiệu chỉnh (Sai số chuẩn vững HAC)

- Đề xuất bởi Newey và West (1987).
- Ý tưởng: Vẫn dùng ước lượng hệ số OLS (vì OLS vẫn không chệch/vững), nhưng tính lại sai số chuẩn (Standard Error) để khắc phục sự chệch của phương sai.
- Phương pháp này gọi là HAC (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent).
- Ưu điểm: Là ước lượng vững ngay cả khi mô hình có biến giải thích không ngoại sinh chặt (có chứa biến trễ $Y_{t-1}$), khắc phục được cả phương sai thay đổi và tự tương quan.
- Được sử dụng phổ biến trong thực tế hơn FGLS khi mẫu đủ lớn.

Tổng kết so sánh các biện pháp khắc phục: