Tóm tắt kiến thức ôn tập chương 10 - Kinh tế lượng (NEU)

10.1. MÔ HÌNH XÁC SUẤT TUYẾN TÍNH (LMP)

10.1.1. Mô hình

Mô hình xác suất tuyến tính (Linear Probability Model - LPM) là dạng đơn giản nhất để xử lý biến phụ thuộc rời rạc (nhị phân, nhận giá trị 0 hoặc 1).
- Phương trình mô hình: $Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1i}+u_{i}$
- Trong đó: $Y$ là biến ngẫu nhiên rời rạc (0 hoặc 1).
- Ý nghĩa kỳ vọng có điều kiện: $E(Y|X_{1i}) = P(Y=1|X_{1i}) = p_i$. Giá trị dự báo của Y chính là xác suất để sự kiện xảy ra (Y=1) tại điều kiện X cho trước.

10.1.2. Các giả thiết của OLS trong LPM

Khi áp dụng OLS cho LPM, ta gặp phải 4 vấn đề vi phạm giả thiết nghiêm trọng:
1. Phương sai sai số thay đổi (Heteroskedasticity): Phương sai của u không hằng số mà phụ thuộc vào X. $Var(u_{i}) = p_{i}(1-p_{i})$.
2. Phân phối của sai số không chuẩn: $u_i$ chỉ nhận hai giá trị tương ứng với Y=0 và Y=1, tuân theo phân phối nhị thức, không phải phân phối chuẩn. Tuy nhiên, với mẫu lớn, ước lượng OLS vẫn không chệch và tiệm cận chuẩn.
3. Giá trị dự báo $\hat{Y}_i$ có thể nằm ngoài khoảng [0, 1]: Điều này vô lý về mặt xác suất (xác suất không thể âm hoặc lớn hơn 1).
4. Hệ số $R^2$ thường thấp: Do đường hồi quy tuyến tính khó khớp tốt với các điểm dữ liệu chỉ nằm ở hai cực 0 và 1.

Lưu ý quan trọng cho sinh viên:

10.1.3. Ước lượng mô hình LPM

Để khắc phục phương sai thay đổi, quy trình ước lượng gồm 2 bước (Phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số - WLS):
- Bước 1: Chạy OLS gốc để thu được $\hat{Y}_i$ (ước lượng của $p_i$). Loại bỏ các quan sát có $\hat{Y}_i < 0$ hoặc $\hat{Y}_i > 1$.
- Bước 2: Tính trọng số $\hat{\sigma}_{i}^{2}=\hat{Y}_{i}(1-\hat{Y}_{i})$. Biến đổi mô hình bằng cách chia cả hai vế cho $\sqrt{\hat{\sigma}_{i}^{2}}$ và chạy OLS trên mô hình mới:
$\frac{Y_{i}}{\sqrt{\hat{\sigma}_{i}^{2}}}=\frac{\beta_{0}}{\sqrt{\hat{\sigma}_{i}^{2}}}+\beta_{1}\frac{X_{1i}}{\sqrt{\hat{\sigma}_{i}^{2}}}+\frac{u_{i}}{\sqrt{\hat{\sigma}_{i}^{2}}}$

10.2. MÔ HÌNH LOGIT

Để khắc phục nhược điểm của LPM (xác suất nằm ngoài [0,1] và quan hệ phi tuyến), người ta dùng hàm phân phối tích lũy Logistic.

10.2.1. Mô hình Logit - phương pháp Goldberger (1964)

- Xác suất $p_i$ được xác định bằng hàm logistic:
$p_{i}=\frac{e^{X_{i}\beta}}{1+e^{X_{i}\beta}}=\frac{exp(X_{i}\beta)}{1+exp(X_{i}\beta)}$
- Hàm này đảm bảo $0 \le p_i \le 1$ với mọi giá trị của X.
- Phương pháp ước lượng: Không dùng OLS mà dùng Ước lượng hợp lý tối đa (MLE).
- Hàm hợp lý (Likelihood function): $L=\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{Y_{i}}(1-p_{i})^{1-Y_{i}}$.
- Tối đa hóa hàm Log-Likelihood $Ln(L)$ bằng các phương pháp lặp (như Newton-Raphson) để tìm $\hat{\beta}$.

Ý nghĩa hệ số và tác động biên (Marginal Effect):
Khác với LPM, trong Logit, tác động của $X_k$ lên xác suất p không phải là hằng số $\beta_k$ mà phụ thuộc vào giá trị của p:
$\frac{\partial p_{i}}{\partial X_{k}} = p_{i}(1-p_{i})\beta_{k}$
-> Chú ý: Khi giải thích kết quả, không được nói "X tăng 1 đơn vị thì p tăng $\beta$ đơn vị", mà phải tính tại một điểm cụ thể (thường là giá trị trung bình).

10.2.2. Mô hình Logit - phương pháp Berkson (1953)

Phương pháp này dùng cho số liệu đã phân nhóm (grouped data) chứ không phải số liệu cá thể.
- Tuyến tính hóa mô hình bằng logarit của tỷ số odds (Log-odds):
$L_{i} = Ln(\frac{p_{i}}{1-p_{i}}) = X_i\beta + u_i$ (gọi là Logit).
- Khi số liệu lặp lại $N_i$ lần tại mỗi giá trị $X_i$, ta dùng tần suất thực nghiệm $\hat{p}_i = n_i/N_i$ để thay thế cho $p_i$.
- Ước lượng: Dùng WLS với trọng số $w_{i}=N_{i}\hat{p}_{i}(1-\hat{p}_{i})$.

10.2.3. Xác suất p, chỉ số OR và ROR

- Odds Ratio (OR): Tỷ số giữa xác suất xảy ra và không xảy ra sự kiện.
$OR = \frac{p}{1-p} = e^{X\beta}$
- Ý nghĩa: Nếu $OR=3$, khả năng Y=1 gấp 3 lần khả năng Y=0.
- Logit: Chính là $Ln(OR) = X\beta$.
- Risk Odds Ratio (ROR): So sánh Odds tại hai trạng thái của X (ví dụ $X_i$ và $X_0$). Nếu $X_j$ tăng 1 đơn vị, ROR thay đổi một lượng $e^{\beta_j}$.

10.3. MÔ HÌNH PROBIT

Sử dụng phân phối chuẩn tắc (Standard Normal Distribution) thay vì phân phối Logistic.
- Giả thuyết về biến ẩn (Latent variable) hay độ thỏa dụng $I^*$:
$I_{i}^{*} = \beta_{0}+\beta_{1}X_{1i}+u_{i}$ với $u \sim N(0,1)$
- Quy tắc quyết định:
+ $Y=1$ nếu $I^* > 0$
+ $Y=0$ nếu $I^* \le 0$
- Xác suất: $p_{i} = P(Y=1|X) = F(X_{i}\beta)$ (với F là hàm phân phối tích lũy chuẩn tắc).
- Tác động biên: $\frac{\partial p}{\partial X_{k}} = f(X_{i}\beta)\beta_{k}$ (với f là hàm mật độ chuẩn).

10.4. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT ĐỐI VỚI MÔ HÌNH LOGIT VÀ PROBIT

10.4.1. Kiểm định bằng tỷ số hàm hợp lý (Likelihood Ratio - LR)

Dùng để kiểm định sự phù hợp của mô hình hoặc kiểm định thu hẹp hồi quy (tương tự kiểm định F trong OLS).
- Thống kê kiểm định: $LR = 2(Ln(L_{UR}) - Ln(L_{R}))$
- Phân phối: Xấp xỉ $\chi^2(m)$ với m là số ràng buộc.
- Độ đo độ phù hợp: 
+ Tỷ lệ phần trăm dự báo đúng (So sánh Y thực tế và Y dự báo với điểm cắt c=0.5). 
+ Pseudo R-squared: $1 - \frac{Ln(L_{UR})}{Ln(L_{0})}$ (với $L_0$ là mô hình chỉ có hệ số chặn).

10.4.2 đến 10.4.5. Các kiểm định khác

- Kiểm định sai số chuẩn Huber/White (QML): Dùng cho sai số vững (Robust standard errors) khi có hiện tượng phương sai sai số thay đổi hoặc sai dạng phân phối.
- Kiểm định Hosmer-Lemeshow & Andrews: Kiểm định sự phù hợp của mô hình (Goodness-of-Fit) bằng cách chia dữ liệu thành các nhóm và so sánh tần số thực tế với tần số dự báo (dùng thống kê $\chi^2$).

10.4.6. So sánh mô hình LPM, Logit và Probit

Bảng so sánh nhanh và quy đổi hệ số:

Lưu ý: Dù hệ số ước lượng khác nhau về độ lớn (do phương sai của Logistic là $\pi^2/3$ còn Probit là 1), nhưng ý nghĩa dấu và xác suất dự báo $\hat{p}$ của hai mô hình thường rất tương đồng.

10.5. MÔ HÌNH TOBIT

Dùng cho trường hợp Biến phụ thuộc bị giới hạn (Censored Data): Biến liên tục nhưng bị chặn tại một ngưỡng (thường là 0). Ví dụ: Chi tiêu cho rượu (nhiều người bằng 0), số giờ làm việc.

10.5.1. Mô hình

- Sử dụng biến ngẫu nhiên ẩn $Y^*$ (thỏa mãn hồi quy cổ điển với $u \sim N(0, \sigma^2)$):
$Y^{*} = X\beta + u$
- Quan sát thực tế Y:
$Y = Y^*$ nếu $Y^* > 0$
$Y = 0$ nếu $Y^* \le 0$
- Phương pháp ước lượng: MLE (Hợp lý tối đa). Nếu dùng OLS cho toàn bộ mẫu hoặc chỉ mẫu $Y>0$ đều sẽ bị chệch.

10.5.2. Kỳ vọng có điều kiện và Tỷ số Mills nghịch đảo

Đây là lý do chính khiến OLS bị chệch. Kỳ vọng của Y với điều kiện $Y>0$ là:
$E(Y|Y>0, X) = X\beta + \sigma \lambda(c)$
- Trong đó: $\lambda(c) = \frac{f(c)}{F(c)}$ là Tỷ số Mills nghịch đảo (Inverse Mills Ratio), với $c = X\beta/\sigma$.
- Ý nghĩa: Nếu bỏ qua $\lambda$ mà chạy OLS, ta đang bỏ sót biến, dẫn đến ước lượng chệch.

10.5.3. Ảnh hưởng của biến độc lập

Tác động biên trong Tobit phức tạp hơn OLS:
$\frac{\partial E(Y|X)}{\partial X_{j}} = \beta_{j} F(\frac{X\beta}{\sigma})$
-> Để so sánh Tobit với OLS, ta nhân hệ số OLS với hệ số điều chỉnh $F(\overline{X}\hat{\beta}/\hat{\sigma})$ (tỷ lệ quan sát không bị chặn).

10.6. MÔ HÌNH POISSON

Dùng cho biến phụ thuộc là Biến đếm (Count data): Nhận giá trị nguyên không âm (0, 1, 2...). Ví dụ: Số con, số lần bị bắt, số bằng sáng chế.

10.6.1. Mô hình

- Phân phối Poisson được xác định bởi kỳ vọng:
$E(Y|X) = exp(X\beta)$
- Xác suất: $P(Y=h|X) = \frac{e^{-exp(X\beta)}(exp(X\beta))^h}{h!}$
- Ý nghĩa hệ số: $\beta_i$ là bán co giãn (semi-elasticity) hoặc co giãn (nếu log-log). $\frac{\partial E(Y|X)}{\partial X_i} = E(Y|X)\beta_i$.
- Ước lượng: MLE hoặc Phi tuyến (Non-linear Least Squares).

10.6.2. Kiểm định giả thiết về phân bố Poisson

- Giả thiết quan trọng nhất của Poisson: Kỳ vọng = Phương sai ($E(Y) = Var(Y) = \lambda$).
- Vấn đề thường gặp: Sự quá phân tán (Overdispersion), tức là $Var(Y) > E(Y)$ (thường $\sigma^2 > 1$).
- Kiểm định Cameron & Trivedi hoặc Wooldridge: Kiểm tra xem phương sai có tỉ lệ với giá trị kỳ vọng hay không. Nếu có hiện tượng quá phân tán, cần hiệu chỉnh sai số chuẩn hoặc dùng mô hình khác (như Binomial Neg).