Tóm tắt kiến thức ôn tập chương 9 - Kinh tế lượng (NEU)

9.1. CƠ CHẾ LIÊN HỆ NGƯỢC

9.1.1. Ví dụ

Mô hình nhiều phương trình (hệ phương trình đồng thời) khác biệt so với mô hình hồi quy đơn lẻ ở chỗ: các biến số có tác động qua lại lẫn nhau, tạo ra mối quan hệ hai chiều (đồng thời). 
- Ví dụ 1: Mô hình Cung - Cầu 
$Q_{Dt} = \alpha_1 + \alpha_2 P_t + u_{1t}$ (Hàm cầu) 
$Q_{St} = \beta_1 + \beta_2 P_t + u_{2t}$ (Hàm cung) 
$Q_{Dt} = Q_{St} = Q_t$ (Điều kiện cân bằng) 
Trong mô hình này, giá $P_t$ và lượng $Q_t$ được xác định đồng thời. $P_t$ ảnh hưởng đến $Q_t$, nhưng sự thay đổi của $Q_t$ (do sự dịch chuyển của đường cầu hoặc cung bởi nhiễu $u_t$) cũng làm thay đổi $P_t$. Do đó, $P_t$ và $u_{1t}, u_{2t}$ có tương quan với nhau.

- Ví dụ 2: Mô hình kinh tế vĩ mô Keynes 
$C_t = \beta_1 + \beta_2 Y_t + u_t$ (Hàm tiêu dùng) 
$Y_t = C_t + I_t$ (Đồng nhất thức thu nhập) 
Tại đây, $C_t$ phụ thuộc vào $Y_t$, nhưng $Y_t$ lại được cấu thành từ $C_t$. Vì vậy, $Y_t$ là biến ngẫu nhiên và có tương quan với $u_t$.

9.1.2. Các ước lượng bình phương nhỏ nhất

Khi áp dụng OLS cho mô hình gồm nhiều phương trình đồng thời, giả thiết quan trọng của OLS là "biến giải thích không tương quan với sai số ngẫu nhiên" bị vi phạm. 
- Xét mô hình Keynes trên, ta chứng minh được: $Cov(Y_t, u_t) = \frac{1}{1-\beta_2}E(u_t^2) \neq 0$. 
- Hậu quả của việc dùng OLS cho phương trình cấu trúc: 
+ Ước lượng $\hat{\beta}_2$ là ước lượng chệch (biased). 
+ Ước lượng $\hat{\beta}_2$ là ước lượng không vững (inconsistent). Ngay cả khi mẫu tăng lên vô hạn, $plim(\hat{\beta}_2) \neq \beta_2$. Cụ thể, $\hat{\beta}_2$ thường ước lượng quá cao giá trị thực.

Lưu ý quan trọng cho sinh viên: Không được dùng OLS trực tiếp cho các phương trình cấu trúc có biến giải thích là biến nội sinh (có quan hệ đồng thời). Kết quả hồi quy sẽ không đáng tin cậy.

9.2. ĐỊNH DẠNG

9.2.1. Định nghĩa

- Biến nội sinh (Endogenous variables): Giá trị được xác định bởi mô hình (nằm trong hệ phương trình). Ký hiệu số lượng là $M$. 
- Biến ngoại sinh (Exogenous variables): Giá trị cho trước, được xác định ngoài mô hình (bao gồm cả biến trễ và hệ số chặn). Ký hiệu số lượng là $K$. 
- Phương trình cấu trúc (Structural Equation): Phương trình mô tả hành vi kinh tế, phản ánh tác động nhân quả, chứa cả biến nội sinh và ngoại sinh. 
- Phương trình rút gọn (Reduced Form): Phương trình biểu diễn một biến nội sinh duy nhất theo các biến ngoại sinh và yếu tố ngẫu nhiên. 
+ Dạng tổng quát: $Y_t = \pi X_t + v_t$ 
+ Hệ số rút gọn ($\pi$) phản ánh tác động tổng thể (trực tiếp và gián tiếp) của biến ngoại sinh lên biến nội sinh. + Có thể dùng OLS để ước lượng phương trình rút gọn vì vế phải toàn là biến ngoại sinh (không tương quan với sai số).

9.2.2. Định dạng

Vấn đề định dạng là trả lời câu hỏi: "Có thể tìm được giá trị duy nhất của các tham số cấu trúc từ các tham số rút gọn hay không?".

9.3. QUY TẮC ĐỊNH DẠNG

Để xác định trạng thái định dạng của một phương trình cụ thể trong hệ thống. 
Ký hiệu: 
- $M$: Tổng số biến nội sinh trong toàn bộ hệ thống. 
- $m$: Số biến nội sinh trong phương trình đang xét. 
- $K$: Tổng số biến ngoại sinh trong toàn bộ hệ thống. 
- $k$: Số biến ngoại sinh trong phương trình đang xét.

9.3.1. Điều kiện cần (Order Condition)

Đây là điều kiện dựa trên số lượng biến số, dễ kiểm tra nhanh nhưng không đảm bảo chắc chắn. 
Quy tắc: Một phương trình định dạng được phải thỏa mãn: 
$K - k \ge m - 1$ 
(Số biến ngoại sinh không có trong phương trình $\ge$ Số biến nội sinh có trong phương trình trừ 1).

Phân loại dựa trên điều kiện cần: 
- Nếu $K - k < m - 1$: Phương trình không định dạng được. 
- Nếu $K - k = m - 1$: Phương trình định dạng đúng (nếu thỏa mãn điều kiện đủ). 
- Nếu $K - k > m - 1$: Phương trình vô định (overidentified).

9.3.2. Điều kiện cần và đủ (Rank Condition)

Một phương trình là định dạng được khi và chỉ khi có thể lập được ít nhất một định thức cấp $(M - 1)$ khác 0 từ các hệ số của các biến (nội sinh và ngoại sinh) không có mặt trong phương trình đó nhưng có mặt trong các phương trình khác của hệ. 
- Đây là điều kiện chặt chẽ hơn để khẳng định tính định dạng. - Điều kiện cần cho biết trạng thái (đúng hay vô định), điều kiện đủ khẳng định tính khả thi.

Lưu ý cho sinh viên: Khi làm bài tập, sinh viên thường chỉ kiểm tra điều kiện cần. Tuy nhiên, nếu đề bài hỏi chặt chẽ hoặc có các bẫy về hệ số bằng 0, cần nhớ đến điều kiện đủ (hạng của ma trận hệ số). Trong thực hành thông thường, điều kiện cần thường được sử dụng làm quy tắc chính.

9.4. KIỂM ĐỊNH HAUSMAN

9.4.1. Kiểm định Hausman về tính đồng thời

Mục đích: Kiểm tra xem biến nội sinh ở vế phải có thực sự tương quan với sai số ngẫu nhiên hay không. Nếu không tương quan, có thể dùng OLS. Nếu có, phải dùng 2SLS. 
Quy trình 3 bước: 
1. Ước lượng hệ rút gọn: Hồi quy biến nội sinh nghi ngờ ($Y_j$) theo tất cả các biến ngoại sinh. Thu lấy phần dư $\hat{v}_j$. 
2. Ước lượng phương trình cấu trúc mở rộng: Thêm phần dư $\hat{v}_j$ vào phương trình cấu trúc ban đầu dưới dạng một biến giải thích và hồi quy bằng OLS. 
$Y_{it} = \beta X + \alpha Y_j + \lambda \hat{v}_j + u_{it}$ 
3. Kiểm định t hoặc F: Kiểm định giả thuyết $H_0: \lambda = 0$. 
+ Nếu chấp nhận $H_0$: Không có tương quan, không có tính đồng thời. Dùng OLS được. 
+ Nếu bác bỏ $H_0$: Có tương quan, mô hình là hệ đồng thời. Phải dùng 2SLS.

9.4.2. Kiểm định tính nội sinh

Tương tự như kiểm định tính đồng thời, dùng để xác định một biến là nội sinh hay ngoại sinh. Quy trình thực hiện giống hệt như trên. Nếu hệ số của phần dư ($\lambda$) khác 0 có ý nghĩa thống kê, biến đó là biến nội sinh.

9.5. ƯỚC LƯỢNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Có 2 nhóm phương pháp: 
- Phương pháp phương trình riêng lẻ (Information Limited): Ước lượng từng phương trình một (OLS, ILS, 2SLS). 
- Phương pháp hệ thống (Full Information): Ước lượng tất cả cùng lúc (3SLS).

9.5.1. Mô hình đệ quy và OLS

Mô hình đệ quy (Recursive System) là hệ phương trình có tính chất phân cấp một chiều (không có tác động phản hồi ngược lại ngay lập tức) và các sai số không tương quan với nhau. 
- Đặc điểm: Ma trận hệ số của các biến nội sinh có dạng tam giác. 
- Phương pháp: Có thể áp dụng OLS cho từng phương trình riêng lẻ mà vẫn thu được ước lượng vững và hiệu quả (Gauss-Markov).

9.5.2. Ước lượng phương trình định dạng đúng - Phương pháp ILS

Phương pháp Bình phương nhỏ nhất gián tiếp (Indirect Least Squares - ILS): 
- Áp dụng: Chỉ dùng cho phương trình định dạng đúng. 
- Quy trình: 
+ B1: Xác định các phương trình rút gọn. 
+ B2: Ước lượng phương trình rút gọn bằng OLS (thu được các $\hat{\pi}$). 
+ B3: Giải hệ phương trình đại số để tìm tham số cấu trúc ($\beta, \alpha$) từ tham số rút gọn ($\hat{\pi}$). 
- Tính chất: Ước lượng tham số cấu trúc là chệch nhưng vững.

9.5.3. Ước lượng các phương trình vô định

(a) Phương pháp bình phương bé nhất hai giai đoạn (2SLS/TSLS) 
- Áp dụng: Cho phương trình vô định (Overidentified) và cả phương trình định dạng đúng (khi đó kết quả trùng ILS). Đây là phương pháp phổ biến nhất. 
- Ý tưởng: Dùng biến công cụ (Instrumental Variable) để lọc bỏ phần tương quan với sai số của biến nội sinh. 
- Quy trình: 
+ Giai đoạn 1: Hồi quy biến nội sinh ở vế phải ($Y_j$) theo tất cả các biến ngoại sinh trong hệ thống. Thu lấy giá trị ước lượng (fitted values) $\hat{Y}_j$. 
+ Giai đoạn 2: Thay thế biến nội sinh gốc $Y_j$ bằng giá trị ước lượng $\hat{Y}_j$ vào phương trình cấu trúc ban đầu, sau đó ước lượng bằng OLS. 
- Tính chất: Ước lượng vững (consistent), có thể dùng cho mẫu lớn.

(b) Phương pháp bình phương nhỏ nhất ba giai đoạn (3SLS) 
- Là mở rộng của 2SLS, thêm giai đoạn 3 sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát (GLS) để xử lý tương quan giữa các sai số của các phương trình khác nhau trong hệ. 
- Hiệu quả hơn 2SLS nhưng phức tạp hơn.