Tóm tắt kiến thức ôn tập chương 14 - Kinh tế lượng (NEU)

14.1. MÔ HÌNH VAR

14.1.1. Định nghĩa

Mô hình VAR (Vector Autoregression - Tự hồi quy theo véc tơ) là mô hình kinh tế lượng dùng để xem xét động thái và sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến số theo thời gian. Trong VAR, mỗi biến số được giải thích bằng giá trị trễ của chính nó và giá trị trễ của các biến số khác trong hệ thống.
Mô hình VAR cấp p, ký hiệu $VAR(p)$ có dạng tổng quát:

$Y_{t} = A_{1}Y_{t-1} + A_{2}Y_{t-2} + ... + A_{p}Y_{t-p} + s_{t} + u_{t}$

Trong đó:
- $Y_t$: Véc tơ cấp $m \times 1$ gồm m biến ngẫu nhiên dừng.
- $A_i$: Ma trận vuông cấp $m \times m$ các hệ số ($i=1, ..., p$).
- $s_t$: Véc tơ các yếu tố xác định (hằng số, xu thế, mùa vụ).
- $u_t$: Véc tơ nhiễu trắng (white noise) với kỳ vọng bằng 0 và ma trận hiệp phương sai không đổi.

Viết dưới dạng toán tử trễ $L$:

$Y_{t} = (A_{1}L + A_{2}L^{2} + ... + A_{p}L^{p})Y_{t} + s_{t} + u_{t}$

14.1.2. Lời giải của mô hình VAR(p)

Định lý Wold: Bất kỳ quá trình dừng yếu nào có trung bình bằng 0 đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một quá trình ngẫu nhiên (trung bình trượt vô hạn - MA) và một quá trình tuyến tính xác định:

$Y_{t} = \mu_{t} + \sum_{i=0}^{\infty}\psi_{i}u_{t-i}$

Phương trình đặc trưng:
Để kiểm tra tính dừng và ổn định, ta xét phương trình đặc trưng đảo của mô hình $VAR(p)$:

$Det(I - A_{1}z - A_{2}z^{2} - ... - A_{p}z^{p}) = 0$

Tính ổn định và khả nghịch:
- Mô hình VAR được gọi là ổn định (stable) nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm thực sự bên ngoài đường tròn đơn vị (hoặc nghiệm của phương trình dạng $Det(Iz^p - A_1z^{p-1} - ... - A_p) = 0$ nằm bên trong đường tròn đơn vị).
- Nếu điều kiện ổn định thỏa mãn thì quá trình VAR là dừng (nếu t biến thiên vô hạn) hoặc tiệm cận dừng.
- Nếu quá trình ổn định, nó có thể viết dưới dạng trung bình trượt vô hạn (VMA):

$Y_{t} = \mu + \sum_{i=0}^{\infty}\Phi_{i}u_{t-i}$

Lưu ý cho sinh viên (Phân biệt Dừng và Ổn định):
- Ổn định (Stable) $\Rightarrow$ Dừng (Stationary).
- Dừng $\nRightarrow$ Ổn định (Có quá trình dừng nhưng không ổn định).
- Trong thực hành, chúng ta thường yêu cầu tính ổn định để đảm bảo các cú sốc (shocks) sẽ tắt dần theo thời gian.

14.1.3. Mô hình VAR(1) và VAR(p)

Mọi mô hình $VAR(p)$ đều có thể chuyển đổi tương đương về dạng $VAR(1)$ bằng cách mở rộng kích thước ma trận (companion matrix). Điều này giúp việc giải và phân tích lý thuyết đơn giản hơn.

Dạng chuyển đổi từ $VAR(p)$ sang $VAR(1)$:

$Y_{t}^{*} = A Y_{t-1}^{*} + s_{t}^{*} + w_{t}$

Trong đó $Y_t^*$ chứa các biến trễ xếp chồng lên nhau.

14.1.4. Giải quá trình VAR(1) ổn định

Xét mô hình $VAR(1)$: $Y_{t} = AY_{t-1} + s + u_{t}$.
Nếu quá trình ổn định, lời giải có dạng:

$Y_{t} = \mu + \sum_{i=0}^{\infty} A^{i}u_{t-i}$

Với $\mu = (I-A)^{-1}s$ là kỳ vọng của $Y_t$.

Hiệp phương sai (Phương trình Yule-Walker):
Mối quan hệ giữa các ma trận hiệp phương sai trễ $\gamma_h$:

$\gamma_{h} = A \gamma_{h-1}$

Với $\gamma_0$ (ma trận hiệp phương sai đồng thời):

$vec(\gamma_{0}) = (I - A \otimes A)^{-1}vec(\Omega)$

Trong đó $\Omega$ là ma trận hiệp phương sai của nhiễu $u_t$ và $\otimes$ là tích Kronecker.

14.1.5. Lời giải của quá trình ổn định và không ổn định với giá trị ban đầu

Khi xét đến điều kiện ban đầu $Y_0$, lời giải là tổng của nghiệm riêng (phụ thuộc điều kiện ban đầu) và nghiệm tổng quát (phụ thuộc chuỗi nhiễu):

$Y_{t} = A^t Y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} A^i s_{t-i} + \sum_{i=0}^{t-1} A^i u_{t-i}$

Nếu quá trình không ổn định (có nghiệm đơn vị), ảnh hưởng của cú sốc quá khứ và điều kiện ban đầu sẽ không bao giờ tắt dần.

14.1.6. Mô hình VAR trễ phân phối dừng tự hồi quy (ARDL)

Mô hình ARDL là sự kết hợp giữa hồi quy và VAR, trong đó biến $Y_t$ được giải thích bởi trễ của chính nó và trễ của các biến ngoại sinh $X$ khác. Biến $X$ lại tuân theo một quá trình VAR.

14.1.7. Mô hình VAR trung bình trượt tự hồi quy theo véc tơ (VARMA)

Kết hợp VAR và VMA:

$A(L)Y_{t} = S_{t} + B(L)u_{t}$

Mô hình này yêu cầu hai điều kiện: Ổn định (nghiệm của A(L) ngoài đường tròn đơn vị) và Khả nghịch (nghiệm của B(L) ngoài đường tròn đơn vị).

14.1.8. Xu thế ngẫu nhiên và tất định

Một quá trình không dừng có thể phân rã thành:

$Y_t = \text{Xu thế tất định} + \text{Xu thế ngẫu nhiên} + \text{Thành phần dừng}$

- Dừng xu thế (Trend Stationary): $Y_t = s_t + \psi_t$ (Tổng phần tất định và phần dừng). Loại bỏ xu thế bằng hồi quy theo thời gian.
- Dừng sai phân (Difference Stationary): Chứa nghiệm đơn vị (Unit root). Loại bỏ xu thế bằng cách lấy sai phân.

14.1.9. Dự báo

Dự báo tối ưu (theo tiêu chuẩn MSE cực tiểu) tại thời điểm t cho h bước tới:

$E_t(Y_{t+h}) = v + A_1 E_t(Y_{t+h-1}) + ... + A_p E_t(Y_{t+h-p})$

Đây là công thức truy hồi (Chain rule of forecasting).

14.2. ƯỚC LƯỢNG MÔ HÌNH VAR

14.2.1. Ước lượng mô hình VAR ổn định

Có 2 phương pháp chính:
1. Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS): Áp dụng cho từng phương trình trong hệ. Nếu các biến độc lập giống nhau ở các phương trình, OLS cho ước lượng vững và hiệu quả.
2. Phương pháp hợp lý cực đại (ML): Nếu nhiễu là nhiễu trắng chuẩn (Gaussian), ước lượng ML tương đương với OLS.

Công thức ước lượng OLS dạng ma trận:

$\hat{A} = YZ'(ZZ')^{-1}$

14.2.2. Ước lượng độ dài của trễ

Việc xác định bậc p rất quan trọng. Sử dụng các tiêu chuẩn thông tin (chọn giá trị p làm cực tiểu các chỉ số):
- AIC (Akaike Information Criterion): $AIC(p) = \ln|H(p)| + \frac{2pm^2}{n}$
- BIC/SC (Schwarz Criterion): $BIC(p) = \ln|H(p)| + \frac{\ln(n)}{n}pm^2$
- FPE (Final Prediction Error).

14.2.3. Dự báo

Sử dụng các ma trận hệ số $\hat{A}$ đã ước lượng để tính toán giá trị dự báo điểm và khoảng tin cậy.

14.2.4. Hàm phản ứng (Impulse Response Function - IRF)

Hàm phản ứng đo lường tác động của một cú sốc (shock) từ biến thứ j tại thời điểm t lên biến thứ i tại thời điểm t+s.

$\frac{\partial Y_{i, t+s}}{\partial u_{j, t}} = \psi_{ij}^{(s)}$

Nếu hệ thống ổn định, $\psi_{ij}^{(s)} \to 0$ khi $s \to \infty$.

Vấn đề tương quan và Cholesky (Quan trọng):
- Các sai số $u_t$ thường tương quan với nhau, nên việc sốc riêng lẻ một biến là không thực tế.
- Giải pháp: Trực giao hóa (Orthogonalization) bằng phân rã Cholesky. Biến đổi $u_t$ thành $w_t$ không tương quan.
- Lưu ý: Kết quả hàm phản ứng Cholesky phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp các biến trong mô hình VAR (biến xếp trước tác động ngay lập tức đến biến xếp sau, nhưng biến xếp sau chỉ tác động đến biến xếp trước có độ trễ).

Phân rã phương sai (Variance Decomposition):
Cho biết bao nhiêu phần trăm sự biến động (phương sai sai số dự báo) của một biến được giải thích bởi các cú sốc của chính nó và của các biến khác trong hệ thống.

14.3. ĐỒNG TÍCH HỢP (COINTEGRATION)

14.3.1. Định nghĩa

- Một quá trình không dừng là tích hợp bậc d, ký hiệu $I(d)$, nếu sai phân d lần của nó là dừng.
- Đồng tích hợp: Giả sử các biến $Y_{it}$ đều là $I(1)$. Nếu tồn tại một tổ hợp tuyến tính $\delta_t = \beta' Y_t$ là dừng $I(0)$, thì các biến này được gọi là đồng tích hợp.
- $\beta$ được gọi là véc tơ đồng tích hợp (Cointegrating vector).
- Ý nghĩa kinh tế: Tồn tại một mối quan hệ cân bằng trong dài hạn giữa các biến số.

14.3.2. Mô hình hiệu chỉnh sai số dạng véc tơ (VECM)

Nếu các biến đồng tích hợp, mô hình VAR phải được viết dưới dạng VECM để tránh sai sót. Định lý Granger cho thấy mối liên hệ giữa đồng tích hợp và VECM:

$\Delta Y_{t} = \Pi Y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} C_{i} \Delta Y_{t-i} + u_{t}$

Trong đó ma trận $\Pi = -(I - A_1 - ... - A_p)$ chứa thông tin về đồng tích hợp.

Phân tích ma trận $\Pi$:
Nếu hạng của ma trận $\Pi$ là $r$ ($0 < r < m$), ta có thể phân rã:

$\Pi = \alpha \beta'$

- $\beta$ (cấp $m \times r$): Ma trận các véc tơ đồng tích hợp (quan hệ dài hạn).
- $\alpha$ (cấp $m \times r$): Ma trận tốc độ điều chỉnh (adjustment parameters) về trạng thái cân bằng.

Bảng so sánh Hạng của ma trận $\Pi$:

14.3.3. Ước lượng mô hình VECM bằng phương pháp OLS

Nếu đã biết số lượng quan hệ đồng tích hợp và các biến, có thể ước lượng bằng OLS (như phương pháp Engle-Granger 2 bước). Tuy nhiên, phương pháp này có hạn chế khi số chiều lớn hơn 2.

14.3.4. Ước lượng hợp lý tối đa các ma trận (Phương pháp Johansen)

Johansen đề xuất phương pháp Hồi quy giảm hạng (Reduced Rank Regression) để ước lượng $\Pi$. Phương pháp này dựa trên việc giải bài toán giá trị riêng (eigenvalues) để tìm ra các véc tơ đồng tích hợp $\beta$ sao cho tương quan giữa tổ hợp tuyến tính các biến mức $Y_{t-1}$ và sai phân $\Delta Y_t$ là lớn nhất (Canonical Correlation).

14.4. KIỂM ĐỊNH SỐ QUAN HỆ ĐỒNG TÍCH HỢP

Mục tiêu: Xác định hạng $r$ của ma trận $\Pi$ (số lượng phương trình đồng tích hợp). Johansen đưa ra 2 kiểm định thống kê dựa trên các giá trị riêng $\lambda_i$ được sắp xếp giảm dần ($\lambda_1 > \lambda_2 > ... > \lambda_m$).

14.4.1. Kiểm định Trace (Vết)

Kiểm định giả thuyết:

- $H_0$: Có nhiều nhất r quan hệ đồng tích hợp ($Rank(\Pi) \le r$).
- $H_1$: Có m quan hệ đồng tích hợp.

Thống kê kiểm định:

$LR_{tr} = -n \sum_{i=r+1}^{m} \ln(1 - \lambda_i)$

14.4.2. Kiểm định giá trị riêng cực đại (Max Eigenvalue)

Kiểm định giả thuyết:

- $H_0$: Có r quan hệ đồng tích hợp.
- $H_1$: Có r+1 quan hệ đồng tích hợp.

Thống kê kiểm định:

$LR_{max}(r | r+1) = -n \ln(1 - \lambda_{r+1})$

Lưu ý quan trọng về các trường hợp xác định (Deterministic Trend Cases):
Kết quả kiểm định phụ thuộc vào giả thiết về xu thế và hệ số chặn. Có 5 trường hợp phổ biến:
1. Không hằng số, không xu thế trong VAR và CE (Cointegrating Equation).
2. Có hằng số trong CE (hạn chế), không hằng số trong VAR.
3. Có hằng số trong VAR (không hạn chế).
4. Có hằng số trong VAR, có xu thế trong CE (hạn chế).
5. Có xu thế bậc 2 trong dữ liệu (ít dùng).