Tóm tắt kiến thức ôn tập chương 3 - Kinh tế lượng (NEU)

3.1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ THỐNG KÊ MẪU

Để thực hiện suy diễn thống kê, mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển cần thỏa mãn Giả thiết 5: Sai số ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn $u_i \sim N(0, \sigma^2)$.

Định lý 3.1: Khi các giả thiết 1-5 thỏa mãn, các ước lượng OLS $\hat{\beta}_j$ tuân theo quy luật chuẩn:
 

Định lý 3.2: Thống kê t (được chuẩn hóa) tuân theo quy luật Student với $(n-k)$ bậc tự do:
 

Tổng quát cho tổ hợp tuyến tính của hai hệ số:
 

Lưu ý quan trọng cho sinh viên:
Nếu giả thiết 5 (sai số phân phối chuẩn) không được thỏa mãn, các kiểm định t và F chỉ có giá trị xấp xỉ khi kích thước mẫu lớn (n lớn). Với mẫu nhỏ và u không chuẩn, kết quả kiểm định có thể không đáng tin cậy.

3.2. BÀI TOÁN XÂY DỰNG KHOẢNG TIN CẬY CHO CÁC HỆ SỐ HỒI QUY

3.2.1. Khoảng tin cậy cho một hệ số hồi quy

Khoảng tin cậy đối xứng $(1-\alpha)$ cho hệ số $\beta_j$ được xác định bởi công thức:
 

Trong đó:
- $t_{\alpha/2, n-k}$: Giá trị tới hạn của phân phối Student (tra bảng).
- $se(\hat{\beta}_j)$: Sai số chuẩn của hệ số ước lượng.

Ý nghĩa: Với độ tin cậy $1-\alpha$, khi biến $X_j$ tăng 1 đơn vị (các yếu tố khác không đổi), trung bình biến Y sẽ thay đổi trong khoảng này.

3.2.2. Khoảng tin cậy cho biểu thức của hai hệ số hồi quy

Dùng để đánh giá tác động khi hai biến độc lập cùng thay đổi. Khoảng tin cậy cho biểu thức $a\beta_2 + b\beta_3$:
 

Công thức tính sai số chuẩn (Lưu ý phải có thành phần hiệp phương sai):
 

Sai lầm thường gặp: Sinh viên thường quên cộng thành phần $2ab cov(\hat{\beta}_2, \hat{\beta}_3)$ khi tính sai số chuẩn của tổng/hiệu các hệ số. Nếu $a=1, b=-1$ (hiệu hai hệ số), công thức sẽ là $-2 cov(...)$.

3.2.3. Ý nghĩa của khoảng tin cậy

- Khoảng tin cậy là một khoảng ngẫu nhiên.
- Ý nghĩa: Nếu lấy mẫu lặp lại nhiều lần, khoảng $95\%$ số các khoảng tin cậy xây dựng được sẽ chứa giá trị thực $\beta_j$ của tổng thể.

3.2.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến độ dài khoảng tin cậy

Độ dài khoảng tin cậy phản ánh độ chính xác của ước lượng (càng hẹp càng chính xác). Độ dài phụ thuộc vào:
+ Bậc tự do (n-k): Mẫu (n) càng lớn hoặc số biến (k) càng nhỏ -> bậc tự do lớn -> $t_{\alpha/2}$ nhỏ -> khoảng hẹp hơn.
+ Phương sai sai số ($\sigma^2$): Sai số càng nhỏ -> ước lượng càng chính xác.
+ Đa cộng tuyến ($R^2_j$): Tương quan giữa các biến độc lập cao -> $se(\hat{\beta}_j)$ lớn -> khoảng rộng ra (kém chính xác).

3.3. BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ VỀ HỆ SỐ HỒI QUY

3.3.1. Kiểm định giả thuyết về một hệ số hồi quy (Kiểm định T)

Thống kê kiểm định:
 

Bảng tổng hợp các dạng giả thuyết và miền bác bỏ:

Lưu ý: Kiểm định ý nghĩa thống kê của biến (biến có tác động hay không) tương ứng với $\beta^* = 0$.

3.3.2. Kiểm định giả thuyết về một ràng buộc giữa các hệ số hồi quy

Sử dụng khi so sánh tác động của hai biến hoặc kiểm định tổng các hệ số. 
Thống kê kiểm định cho $H_0: a\beta_2 + b\beta_3 = a^*$:
 

Quy tắc bác bỏ tương tự như bảng trên.

3.3.3. Giá trị xác suất P (P-value)

- Định nghĩa: Mức ý nghĩa nhỏ nhất mà tại đó $H_0$ bị bác bỏ.
- Quy tắc quyết định:
+ Nếu $P\text{-value} < \alpha$ (mức ý nghĩa): Bác bỏ $H_0$.
+ Nếu $P\text{-value} \ge \alpha$: Chưa đủ cơ sở bác bỏ $H_0$.
- Eviews/Stata luôn báo cáo P-value cho kiểm định 2 phía ($\beta_j = 0$). Với kiểm định 1 phía, cần lấy P-value/2 (nếu dấu của t phù hợp).

3.3.4. Kiểm định giả thuyết về nhiều ràng buộc - Kiểm định F

Áp dụng khi cần kiểm định đồng thời từ 2 ràng buộc trở lên (Ví dụ: $H_0: \beta_2 = 0 \text{ và } \beta_3 = 0$).
Nguyên tắc: So sánh mô hình không ràng buộc (U - Unrestricted) và mô hình có ràng buộc (R - Restricted).

Công thức F tổng quát (theo RSS):
 

Trong đó:
- $RSS_R$: Tổng bình phương phần dư của mô hình có ràng buộc (luôn lớn hơn hoặc bằng $RSS_U$).
- $RSS_U$: Tổng bình phương phần dư của mô hình gốc (không ràng buộc).
- $m$: Số ràng buộc (số dấu bằng trong $H_0$).
- $k_U$: Số tham số của mô hình gốc.
- Quy luật: $F(m, n - k_U)$.

Công thức F theo $R^2$ (chỉ dùng khi biến phụ thuộc Y giống hệt nhau):
 

3.3.5. Kiểm định về sự phù hợp của hàm hồi quy

Mục đích: Kiểm định xem TẤT CẢ các biến độc lập có đồng thời bằng 0 hay không.
- $H_0: \beta_2 = \beta_3 = ... = \beta_k = 0$ (Mô hình không phù hợp).
- $H_1$: Có ít nhất một hệ số khác 0 (Mô hình phù hợp).
Công thức F đặc biệt:
 

Nếu $F_{qs} > F_{\alpha}(k-1, n-k)$ hoặc P-value (Prob F-stat) < $\alpha$ => Bác bỏ $H_0$ (Mô hình phù hợp).

3.3.6. So sánh kiểm định T và kiểm định F

3.4. MỘT SỐ KIỂM ĐỊNH KHÁC

Khi mẫu lớn (tiệm cận), nếu giả thiết phân phối chuẩn của sai số không thỏa mãn, có thể dùng:
- Kiểm định Wald.
- Kiểm định Tỷ số hợp lý (Likelihood Ratio - LR).
- Kiểm định Nhân tử Lagrange (LM).
Các thống kê này tuân theo quy luật Chi-bình-phương ($\chi^2$).

3.5. DỰ BÁO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN PHỤ THUỘC VÀ SAI SỐ DỰ BÁO

3.5.1. Dự báo giá trị của biến phụ thuộc

Dự báo giá trị trung bình $E(Y|X_0)$ bằng khoảng tin cậy. 
Sai số chuẩn của giá trị dự báo trung bình ($se(\hat{Y}_0)$):
 

Khoảng tin cậy dự báo:
 

Nhận xét: Dự báo càng xa giá trị trung bình mẫu ($\overline{X}$) thì sai số dự báo càng lớn (khoảng tin cậy càng rộng).

3.5.2. Đánh giá sai số dự báo

Các chỉ tiêu đánh giá độ chính xác của dự báo (so sánh giá trị thực tế $Y$ và giá trị dự báo $\hat{Y}$):

+ RMSE (Căn bậc hai của trung bình bình phương sai số): 

 
+ MAE (Sai số trung bình tuyệt đối): 

 
+ MAPE (Sai số trung bình tuyệt đối theo %): (Không phụ thuộc đơn vị đo)