Tóm tắt kiến thức ôn tập chương 15 - Kinh tế lượng (NEU)

15.1. GIỚI THIỆU

Phần này giới thiệu về việc mô hình hóa độ rủi ro (volatility) của lợi suất tài sản thông qua phương sai có điều kiện của sai số thay đổi.

Bản chất của rủi ro (Volatility): 
- Rủi ro không quan sát trực tiếp được (latent variable). 
- Tính chất "bầy đàn" (volatility clustering): Các giai đoạn biến động mạnh thường đi cùng nhau và các giai đoạn biến động yếu cũng vậy. 
- Biến động theo thời gian liên tục, ít có bước nhảy vọt. 
- Biến thiên trong miền xác định (không phân kỳ ra vô cùng), thường là chuỗi dừng. 
- Hiệu ứng đòn bẩy (leverage effect): Phản ứng khác nhau với tin tốt (giá tăng) và tin xấu (giá giảm).

Cấu trúc chung của mô hình: 
Mô hình bao gồm 2 phần chính: 
+ Phương trình trung bình: Mô tả hành vi của lợi suất $r_t$, thường dùng mô hình ARMA: $r_{t}=\mu_{t}+u_{t}$ 
+ Phương trình phương sai (độ rủi ro): Mô tả phương sai có điều kiện của sai số $u_t$: $\sigma_{t}^{2}=Var(r_{t}/F_{t-1})=Var(u_{t}/F_{t-1})$

Lưu ý sinh viên: Cần phân biệt rõ ràng giữa "Phương trình trung bình" (dự báo giá trị kỳ vọng của biến) và "Phương trình phương sai" (dự báo độ biến động/rủi ro của biến đó).

15.2. MÔ HÌNH PHƯƠNG SAI CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI TỰ HỒI QUY (ARCH)

15.2.1. Mô hình

Mô hình ARCH (Engle, 1982) giả định rằng phương sai hiện tại phụ thuộc vào bình phương các sai số (cú sốc) trong quá khứ. 
Mô hình ARCH(m): $u_{t}=\sigma_{t}\epsilon_{t}$ $\sigma_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1}u_{t-1}^{2}+\alpha_{2}u_{t-2}^{2}+...+\alpha_{m}u_{t-m}^{2}$ 
Điều kiện ràng buộc: $\alpha_0 > 0, \alpha_i \ge 0$ (để đảm bảo phương sai luôn dương).

15.2.2. Tính chất của mô hình ARCH

Xét mô hình ARCH(1): $\sigma_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1}u_{t-1}^{2}$ 
- Điều kiện dừng: $0 \le \alpha_1 < 1$. 
- Phương sai không điều kiện (Unconditional Variance): $Var(u_t) = \frac{\alpha_0}{1-\alpha_1}$. 
- Hàm phân phối có "đuôi dày" (Heavy tail): Hệ số nhọn (Kurtosis) > 3, nghĩa là xác suất xảy ra các giá trị cực đoan cao hơn so với phân phối chuẩn. 
- Điều kiện để mô men bậc 4 hữu hạn: $3\alpha_1^2 < 1$ hay $\alpha_1 < 1/\sqrt{3}$.

15.2.3. Những nhược điểm của mô hình ARCH

- Đối xử như nhau với cú sốc dương và âm (do bình phương $u_{t-i}^2$). 
- Các điều kiện ràng buộc tham số khá chặt chẽ để đảm bảo phương sai dương. 
- Không giải thích được nguồn gốc biến thiên. 
- Thường dự báo quá cao độ rủi ro đối với các cú sốc cô lập.

15.2.4. Ước lượng mô hình ARCH

- Xác định bậc m: Dùng hàm PACF của chuỗi bình phương phần dư $u_t^2$. 
- Phương pháp ước lượng: Hợp lý cực đại (Maximum Likelihood - ML). 
- Kiểm định hiệu ứng ARCH: Sử dụng kiểm định Lagrange Multiplier (LM) hoặc kiểm định Q của Ljung-Box trên chuỗi bình phương phần dư.

15.3. MÔ HÌNH GARCH

15.3.1. Mô hình

Mô hình GARCH (Bollerslev, 1986) tổng quát hóa ARCH bằng cách đưa thêm các giá trị trễ của chính phương sai có điều kiện vào phương trình. 
Mô hình GARCH(m,s): $\sigma_{t}^{2}=\alpha_{0}+\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}u_{t-i}^{2}+\sum_{j=1}^{s}\beta_{j}\sigma_{t-j}^{2}$ 
Điều kiện: $\alpha_0 > 0, \alpha_i \ge 0, \beta_j \ge 0$ và tổng $\sum(\alpha_i + \beta_j) < 1$ để đảm bảo tính dừng.

So sánh ARCH và GARCH:

15.3.2. Dự báo phương sai

Với GARCH(1,1): 
- Dự báo một bước: $\sigma_{h+1}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1}u_{h}^{2}+\beta_{1}\sigma_{h}^{2}$ 
- Dự báo đa bước (hội tụ về trung bình): Khi độ dài dự báo tăng lên, phương sai có điều kiện sẽ hội tụ về phương sai không điều kiện $\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1}$.

15.4. MÔ HÌNH GARCH TÍCH HỢP (IGARCH)

- Đặc điểm: Tổng các hệ số trong phương trình phương sai bằng 1 (có nghiệm đơn vị). 
- Với GARCH(1,1): $\alpha_1 + \beta_1 = 1$. 
- Hệ quả: Một cú sốc hiện tại sẽ có ảnh hưởng vĩnh viễn đến dự báo phương sai trong tương lai (ký ức dài hạn). 
- Ứng dụng: Khi $\alpha_0 = 0$, mô hình IGARCH trở thành mô hình san mũ (EWMA) thường dùng trong tính toán Value at Risk (VaR).

15.5. MÔ HÌNH GARCH-M

- Ý nghĩa: Lợi suất kỳ vọng phụ thuộc vào rủi ro (High risk, high return). Đưa độ rủi ro vào phương trình trung bình. 
- Dạng mô hình: $r_{t}=\mu_{t}+c\sigma_{t}^{2}+u_{t}$ (hoặc dùng $\sigma_t$, $\ln(\sigma_t^2)$) 
- Tham số $c$: Phần bù rủi ro. Nếu $c > 0$, rủi ro tăng làm tăng lợi suất kỳ vọng.

15.6. MÔ HÌNH TGARCH

- Mục tiêu: Mô hình hóa hiệu ứng bất đối xứng (đòn bẩy) - tin xấu ($u_t < 0$) thường gây biến động mạnh hơn tin tốt ($u_t > 0$). 
- Phương trình phương sai TGARCH(1,1): $\sigma_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1}u_{t-1}^{2}+\gamma u_{t-1}^{2}d_{t-1}+\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2}$ 
Trong đó $d_{t-1}$ là biến giả: $d=1$ nếu $u_{t-1} < 0$ (tin xấu), ngược lại $d=0$. 
- Đánh giá: 
+ Tin tốt tác động hệ số: $\alpha_1$ 
+ Tin xấu tác động hệ số: $\alpha_1 + \gamma$ 
+ Nếu $\gamma > 0$: Tồn tại hiệu ứng đòn bẩy.

15.7. MÔ HÌNH GARCH DẠNG MŨ (EGARCH)

15.7.1. Mô hình

- Ưu điểm: Khắc phục nhược điểm ràng buộc không âm của các hệ số trong GARCH (do mô hình hóa log của phương sai). 
- Dạng mô hình EGARCH(1,1): $\ln(\sigma_{t}^{2})=\alpha_{0}+\beta \ln(\sigma_{t-1}^{2})+\alpha\left|\frac{u_{t-1}}{\sigma_{t-1}}\right|+\gamma\frac{u_{t-1}}{\sigma_{t-1}}$ 
- Kiểm định bất đối xứng: Nếu $\gamma \ne 0$ thì có tính bất đối xứng. Nếu $\gamma < 0$, tin xấu làm tăng độ biến động nhiều hơn tin tốt.

So sánh mô hình bất đối xứng:

15.7.5. Đường cong phản ứng của các cú sốc (News Impact Curve)

Là đồ thị mô tả mối quan hệ giữa phương sai có điều kiện ($\sigma^2_t$) và các cú sốc ($u_{t-1}$). 
- Với GARCH chuẩn: Đường cong là Parabol đối xứng qua trục tung. 
- Với TGARCH/EGARCH: Đường cong không đối xứng, thường dốc hơn ở phía bên trái (cú sốc âm).

15.8. MÔ HÌNH HỢP PHẦN GARCH (COMPONENT ARCH MODEL)

- Ý tưởng: Tách độ biến động thành hai thành phần: Dài hạn (Permanent - $q_t$) và Ngắn hạn/Tức thời (Transitory - $\sigma^2_t - q_t$). 
- Cấu trúc: 
+ Phương trình dài hạn: $q_t$ hội tụ chậm về trung bình dài hạn $\omega$. 
+ Phương trình ngắn hạn: Sự chênh lệch giữa $\sigma^2_t$ và $q_t$ hội tụ nhanh về 0. 
- Bản chất: Tương đương với một mô hình GARCH(2,2) bị ràng buộc.

15.9. MÔ HÌNH CHARMA

- CHARMA (Conditional Heteroscedastic ARMA): Sử dụng các hệ số ngẫu nhiên để mô tả phương sai có điều kiện. 
- Đặc điểm: Phương sai phụ thuộc vào các tích chéo của sai số quá khứ ($u_{t-i}u_{t-j}$), cho phép mô tả tương tác giữa các cú sốc.

15.10. MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY VỚI CÁC HỆ SỐ LÀ NGẪU NHIÊN (RCA)

- Các hệ số tự hồi quy trong phương trình trung bình không phải là hằng số mà là biến ngẫu nhiên. 
- Phương sai có điều kiện là một hàm bậc 2 của các giá trị trễ quan sát được ($r_{t-i}$), khác với ARCH/GARCH là hàm của sai số ($u_{t-i}$).

15.11. MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN (SV)

- Stochastic Volatility (SV): Xem $\ln(\sigma^2_t)$ là một quy trình ngẫu nhiên có sai số riêng ($v_t$), độc lập với sai số của phương trình trung bình ($\epsilon_t$). 
- Ưu điểm: Mềm dẻo hơn về lý thuyết phân phối. 
- Nhược điểm: Khó ước lượng hơn GARCH (không dùng được ML thông thường, phải dùng Quasi-Likelihood, lọc Kalman hoặc Monte Carlo).

LƯU Ý QUAN TRỌNG KHI ÔN TẬP:

1. Kiểm định ARCH: Bước đầu tiên luôn là kiểm định xem chuỗi phần dư có hiệu ứng ARCH hay không (dùng kiểm định LM hoặc Q-stat trên bình phương phần dư). Nếu không có hiệu ứng ARCH, không thể dùng các mô hình GARCH/EGARCH... 
2. Ý nghĩa tham số: Trong GARCH(1,1), tổng $\alpha_1 + \beta_1$ đo lường sự bền vững (persistence) của cú sốc. Càng gần 1, biến động càng dai dẳng. 
3. Phân biệt TGARCH và EGARCH: Cả hai đều xử lý bất đối xứng, nhưng cách biểu diễn toán học khác nhau. EGARCH không cần điều kiện hệ số dương. 
4. Giả định phân phối: Mặc định thường là phân phối chuẩn, nhưng trong tài chính, sai số thường có phân phối đuôi dày (Student-t) hoặc phân phối lệch (Skewed), cần chú ý khi chọn phương pháp ước lượng.