Tóm tắt kiến thức ôn tập chương 11 - Kinh tế lượng (NEU)

11.1. MÔ HÌNH NGOẠI SUY ĐƠN GIẢN

Phương pháp ngoại suy chuỗi thời gian dựa trên giả định rằng hành vi của biến số trong quá khứ sẽ tiếp diễn trong tương lai. Các mô hình này thường xem biến thời gian là biến tất định (phi ngẫu nhiên).

11.1.1. Mô hình xu thế tuyến tính

Áp dụng khi $Y_t$ tăng/giảm một lượng không đổi qua mỗi đơn vị thời gian. 
+ Phương trình: $Y_t = \beta_1 + \beta_2t$ 
+ Dự báo: $\hat{Y}_{n+i} = \beta_1 + \beta_2(n+i) = Y_n + \beta_2i$

11.1.2. Mô hình dạng mũ

Áp dụng khi $Y_t$ tăng trưởng với tốc độ (%) không đổi. 
+ Phương trình: $Y_t = \alpha e^{rt}$ 
+ Dạng tuyến tính hóa để ước lượng: $Ln(Y_t) = Ln(\alpha) + rLn(t)$ 
+ Dự báo: $\hat{Y}_{n+i} = \alpha e^{r(n+i)}$

11.1.3. Mô hình xu thế tự hồi quy

Dự báo giá trị hiện tại dựa trên giá trị quá khứ liền kề. 
+ Phương trình: $Y_t = \beta_1 + \beta_2 Y_{t-1}$ 
+ Tính chất: 
- Nếu $\beta_2 > 1$: Chuỗi bùng nổ. 
- Nếu $\beta_2 = 1$: Chuỗi bước ngẫu nhiên. 
- Nếu $\beta_2 < 1$: Chuỗi hội tụ.

11.1.4. Hàm bậc hai

Mô tả chuỗi có sự thay đổi chiều hướng (tăng rồi giảm hoặc ngược lại). 
+ Phương trình: $Y_t = \beta_1 + \beta_2t + \beta_3t^2$

11.1.5. Mô hình logistic xu thế

Mô tả biến số có giới hạn tăng trưởng (tiệm cận trên/dưới), đồ thị dạng chữ "S". 
+ Phương trình: $Y_t = a + \frac{k - a}{1 + ce^{-\beta t}}$ 
+ Trong đó: a là tiệm cận dưới, k là tiệm cận trên.

LƯU Ý QUAN TRỌNG: Các mô hình trên là mô hình tất định. Dự báo dựa trên giả định xu thế quá khứ giữ nguyên, không tính đến các cú sốc ngẫu nhiên mới.

11.2. KIỂM ĐỊNH TÍNH NGẪU NHIÊN - KIỂM ĐỊNH CÁC ĐOẠN MẠCH (RUNS TEST)

Mục đích: Xác định xem chuỗi thời gian có phải là ngẫu nhiên hay không. Nếu không ngẫu nhiên (có xu thế), mới áp dụng các mô hình ngoại suy. 
+ Cách thực hiện: 
- Bước 1: Tìm trung vị của chuỗi. 
- Bước 2: So sánh từng phần tử với trung vị. Gán dấu (+) nếu lớn hơn, (-) nếu nhỏ hơn. 
- Bước 3: Đếm số đoạn mạch (R) - một dãy liên tiếp các dấu giống nhau.

11.2.1. Trường hợp n ≤ 20

Tra bảng Swed và Eisenhart dựa trên số lượng dấu (+) và (-). 
+ $H_0$: Mẫu là ngẫu nhiên. 
+ $H_1$: Có mối liên hệ giữa các giá trị.

11.2.2. Trường hợp n > 20

Sử dụng phân phối xấp xỉ chuẩn Z. 
+ Kỳ vọng: $E(R) = \frac{n}{2} + 1$ 
+ Phương sai: $\sigma_R^2 = \frac{n^2 - 2n}{4(n-1)}$ 
+ Thống kê kiểm định: $Z = \frac{R - (\frac{n}{2} + 1)}{\sqrt{\frac{n^2 - 2n}{4(n-1)}}}$ 
+ Bác bỏ $H_0$ nếu $|Z| > Z_{\alpha/2}$.

11.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP SAN CHUỖI GIẢN ĐƠN

Mục đích: Loại bỏ biến động ngẫu nhiên (làm trơn) để nhìn rõ xu thế.

11.3.1. Trung bình trượt (Moving Average - MA)

Trung bình trượt giản đơn (SMA): Trung bình cộng của m quan sát liên tiếp. 
+ Công thức: $SMA = \frac{Y_{t-m+1} + ... + Y_t}{m}$

Trung bình trượt trung tâm: Dùng cho m là số lẻ (2k+1), lấy giá trị t làm tâm. 
+ Công thức: $Y^*_t = \frac{Y_{t-k} + ... + Y_t + ... + Y_{t+k}}{2k+1}$ 
+ Hạn chế: Mất dữ liệu ở đầu và cuối chuỗi.

11.3.2. San mũ giản đơn (EMA)

Phương pháp này khắc phục nhược điểm của SMA bằng cách gán trọng số giảm dần cho các quan sát trong quá khứ. 
+ Công thức đệ quy: $\hat{Y}_t = \alpha Y_t + (1 - \alpha)\hat{Y}_{t-1}$ 
+ Trong đó: $0 < \alpha < 1$ là hằng số san. 
- $\alpha$ lớn: Trọng số vào giá trị hiện tại lớn (chuỗi ít trơn, bám sát thực tế). 
- $\alpha$ nhỏ: Trọng số vào quá khứ lớn (chuỗi trơn hơn). 
+ Chọn $\alpha$: Thường chọn giá trị sao cho tổng bình phương sai số (RSS) là nhỏ nhất.

11.4. HIỆU CHỈNH YẾU TỐ THỜI VỤ

Dùng để loại bỏ biến động mang tính chu kỳ (mùa vụ) để phân tích bản chất chuỗi. 
Quy trình thực hiện: 
- Bước 1: Tính trung bình trượt (thường dùng trung bình trượt trung tâm). Nếu chuỗi tháng (s=12), chuỗi quý (s=4). 
Lưu ý: Với s chẵn, phải lấy trung bình trượt 2 lần (centered) để khớp thời gian. 
- Bước 2: Tính tỷ số $Y_t / Y^*_t$ (Chỉ số thời vụ từng kỳ). 
- Bước 3: Tính trung bình chỉ số thời vụ cho từng loại thời gian (ví dụ: trung bình của các tháng 1, các tháng 2...). 
- Bước 4: Chuẩn hóa chỉ số thời vụ (SIN) sao cho tổng các chỉ số bằng số kỳ (12 hoặc 4). 
- Bước 5: Tính chuỗi đã điều chỉnh (Deseasonalized): $ADY_t = \frac{Y_t}{SIN_t}$

11.5. CÁC THÀNH PHẦN CỦA CHUỖI THỜI GIAN

Một chuỗi thời gian gồm 4 thành phần: 
- T (Trend): Xu thế dài hạn. 
- S (Seasonal): Yếu tố mùa vụ (lặp lại < 1 năm). 
- C (Cyclical): Yếu tố chu kỳ (biến động của nền kinh tế, > 1 năm). 
- I (Irregular): Yếu tố ngẫu nhiên/bất quy tắc.

11.5.1. Mô hình nhân

Quy trình phân tách: 
+ Tách yếu tố thời vụ (S): Dùng phương pháp ở mục 11.4 => còn lại $TCI = Y/SIN$. 
+ Tách xu thế (T) và chu kỳ (C): Hồi quy $TCI = f(t) + u$. Phần $f(t)$ là TC. 
+ Tách yếu tố ngẫu nhiên (I): $I = Y / (TC \times S)$.

11.5.2. Mô hình cộng

Tương tự mô hình nhân nhưng dùng phép trừ thay vì phép chia. 
+ $S + I = Y - Y^*$ 
+ $S = NS - \overline{NS}$ 
+ $T + C + I = Y - S$

11.6. MÔ HÌNH DỰ BÁO SAN MŨ HOLT-WINTERS

Đây là phương pháp nâng cao của san mũ giản đơn, áp dụng khi chuỗi có xu thế và yếu tố mùa vụ.

11.6.1. Dự báo chuỗi có yếu tố xu thế (Không có mùa vụ)

Sử dụng 2 tham số làm trơn: $\alpha$ (cho mức độ) và $\beta$ (cho xu thế). 
+ San mũ mức độ: $\hat{Y}_t = \alpha Y_t + (1 - \alpha)(\hat{Y}_{t-1} + T_{t-1})$ 
+ San mũ xu thế: $T_t = \beta(\hat{Y}_t - \hat{Y}_{t-1}) + (1 - \beta)T_{t-1}$ 
+ Dự báo: $\hat{Y}_{n+h} = \hat{Y}_n + hT_n$

11.6.2. Dự báo chuỗi có cả xu thế và thời vụ

Sử dụng 3 tham số: $\alpha, \beta, \gamma$. 
+ San mũ mức độ: $\hat{Y}_t = \alpha \frac{Y_t}{F_{t-s}} + (1 - \alpha)(\hat{Y}_{t-1} + T_{t-1})$ 
+ San mũ xu thế: $T_t = \beta(\hat{Y}_t - \hat{Y}_{t-1}) + (1 - \beta)T_{t-1}$ 
+ San mũ thời vụ: $F_t = \gamma \frac{Y_t}{\hat{Y}_t} + (1 - \gamma)F_{t-s}$ 
Lưu ý sinh viên: Trong công thức, $s$ là số kỳ trong 1 năm (ví dụ s=4 với quý). $F_{t-s}$ nghĩa là lấy chỉ số mùa vụ của cùng kỳ năm trước. 
+ Dự báo: 
- $\hat{Y}_{n+h} = (\hat{Y}_n + hT_n)F_{n+h-s}$ (nếu dự báo trong vòng 1 năm tới)

11.7. PHÉP LỌC HODRICK - PRESCOTT (HP)

Phương pháp hiện đại dùng trong kinh tế vĩ mô để tách phần xu thế (Trend) ra khỏi phần chu kỳ (Cycle). 
+ Bài toán tối thiểu hóa: 

+ Ý nghĩa: Cân bằng giữa việc bám sát dữ liệu thực (thành phần đầu) và độ trơn của đường xu thế (thành phần sau nhân với $\lambda$). 
+ Giá trị $\lambda$ quy ước: 
- Số liệu năm: $\lambda = 100$ 
- Số liệu quý: $\lambda = 1600$ 
- Số liệu tháng: $\lambda = 14400$

11.8. PHƯƠNG PHÁP CENSUS II X-11

Phương pháp phân tích chuỗi thời gian phức tạp do Cục Thống kê Mỹ phát triển. 
+ Đặc điểm: Lặp lại nhiều vòng (iterative) các bước trung bình trượt, tính tỷ số mùa vụ, và hiệu chỉnh outliers. 
+ Có tính năng hiệu chỉnh "Ngày thương mại" (Trading day adjustment) - ví dụ tháng 2 có ít ngày hơn các tháng khác. 
+ Kết quả phân tách thành: $Y = TC \times S \times I$.