Tóm tắt kiến thức chương 2 (P2) - Thống kê xã hội học USSH

II.4. MỘT SỐ BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT ĐƠN GIẢN

II.4.1. Đặt bài toán

Trong thực tế, chúng ta phải ra quyết định dựa trên thông tin không đầy đủ (mẫu). Bài toán kiểm định giả thiết giúp chọn một trong hai tình huống với sai lầm thấp nhất. 
- Giả thiết $H$ (Null Hypothesis): Tình huống ban đầu, thường chứa dấu bằng (=). 
- Đối thiết $K$ (Alternative Hypothesis): Tình huống đối lập, thường chứa dấu $\ne, >, <$. 
- Quy tắc: 
+ Chia miền giá trị mẫu thành 2 phần: $S$ (miền bác bỏ $H$) và $\overline{S}$ (miền chấp nhận $H$). 
+ Nếu giá trị kiểm định thuộc $S \rightarrow$ Bác bỏ $H$, chấp nhận $K$. 
+ Nếu giá trị kiểm định thuộc $\overline{S} \rightarrow$ Chưa có cơ sở bác bỏ $H$.

Hai loại sai lầm: 
- Sai lầm loại I: Bác bỏ $H$ khi $H$ đúng. Xác suất mắc phải là mức ý nghĩa $\alpha$. 
- Sai lầm loại II: Chấp nhận $H$ khi $H$ sai. 
Mục tiêu: Khống chế sai lầm loại I ($\le \alpha$) và cực tiểu hóa sai lầm loại II.

II.4.2. Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình

Bài toán: Kiểm định $\mu$ với giá trị $\mu_0$. 
- $H: \mu = \mu_0$ 
- $K$: có 3 trường hợp ($\mu \ne \mu_0; \mu > \mu_0; \mu < \mu_0$)

Phân loại trường hợp và Công thức kiểm định (Thống kê tiêu chuẩn):

Miền bác bỏ $S$ (Quyết định bởi đối thiết K): 
- Nếu $K: \mu \ne \mu_0$ (kiểm định 2 phía) $\rightarrow S = \{ |Thống kê| \ge u_{\alpha/2} \text{ hoặc } t_{\alpha/2} \}$ 
- Nếu $K: \mu > \mu_0$ (kiểm định phía phải) $\rightarrow S = \{ Thống kê \ge u_{\alpha} \text{ hoặc } t_{\alpha} \}$ 
- Nếu $K: \mu < \mu_0$ (kiểm định phía trái) $\rightarrow S = \{ Thống kê \le -u_{\alpha} \text{ hoặc } -t_{\alpha} \}$

Lưu ý cho sinh viên: Dấu của miền bác bỏ $S$ luôn "cùng chiều" với dấu của đối thiết $K$. Ví dụ: $K$ dùng dấu $>$ thì $S$ lấy giá trị dương lớn hơn ($\ge$).

II.4.3. Kiểm định giả thiết về tỷ lệ

- Bài toán: So sánh tỷ lệ thực $p$ với giá trị $p_0$. 
- Giả thiết $H: p = p_0$. 
- Thống kê kiểm định (luôn dùng phân phối chuẩn $u$ khi $n$ lớn): 
$u = \frac{p^* - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}} \sqrt{n}$ 
(Trong đó $p^* = m/n$ là tỷ lệ mẫu). 
- Miền bác bỏ $S$: Tương tự như kiểm định trung bình (dựa vào $K$ là $\ne, >, <$).

II.4.4. So sánh hai giá trị trung bình

Kiểm định xem hai trung bình $\mu_1$ và $\mu_2$ có bằng nhau không. 
$H: \mu_1 = \mu_2$ (hay $\mu_1 - \mu_2 = 0$).

Các trường hợp tham số (Parametric): 
- TH a (Biết $\sigma_1, \sigma_2$ hoặc n lớn): Dùng thống kê $u$. 
$u = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$ 
- TH b (Chưa biết $\sigma$, giả thiết bằng nhau, X, Y chuẩn): Dùng thống kê $t$ với bậc tự do $n_1 + n_2 - 2$. 
- TH c (Chưa biết $\sigma$, n lớn): Dùng thống kê $u$ với sai số chuẩn thay bằng $s_x, s_y$.

Các tiêu chuẩn Phi tham số (Non-parametric): 
Dùng khi không thỏa mãn giả thiết phân phối chuẩn hoặc $n$ nhỏ. 
d) Tiêu chuẩn Mann - Whitney (Hai mẫu độc lập): 
- Bước 1: Gộp 2 mẫu, xếp hạng (Rank) từ bé đến lớn. 
- Bước 2: Tính tổng hạng $R_1, R_2$. 
- Bước 3: Tính $U_1, U_2$ và kiểm định dựa trên phân phối xấp xỉ chuẩn của $U$. 
e) Tiêu chuẩn Wilcoxon (Hai mẫu phụ thuộc/cặp): 
- Bước 1: Tính hiệu $d_i = x_i - y_i$. Loại bỏ $d_i = 0$. 
- Bước 2: Xếp hạng trị tuyệt đối $|d_i|$. 
- Bước 3: Tính tổng hạng của các $d_i$ dương ($T^+$) và âm ($T^-$). Kiểm định dựa trên $T$.

II.4.5. So sánh hai tỷ lệ

- Bài toán: $H: p_1 = p_2$. 
- Thống kê kiểm định: 
$u = \frac{p_1^* - p_2^*}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$ 
Trong đó $\bar{p} = \frac{m_1 + m_2}{n_1 + n_2}$ là tỷ lệ chung của mẫu gộp.

II.4.6. Tiêu chuẩn phù hợp $\chi^2$ (Chi bình phương)

- Mục đích: Kiểm tra xem số liệu mẫu thực tế có phù hợp với một phân phối lý thuyết (các tỷ lệ $p_i$ cho trước) hay không. 
- Công thức: 
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(m_i - n p_i)^2}{n p_i}$ 
Trong đó: $m_i$ là tần số thực tế, $n p_i$ là tần số lý thuyết. 
- Miền bác bỏ: $S = \{ \chi^2 \ge \chi^2_{k-1}(\alpha) \}$. 
- Điều kiện dùng: Các tần số lý thuyết $m_i \ge 5$.

II.4.7. Kiểm tra tính độc lập

- Mục đích: Kiểm tra xem 2 biến định tính (hoặc định lượng phân nhóm) X và Y có độc lập hay phụ thuộc. 
- Bảng tiếp liên (Contingency table) kích thước $r \times s$ (hàng $\times$ cột). 
- Tần số lý thuyết của ô $(i,j) = \frac{\text{Hàng}_i \times \text{Cột}_j}{n}$. 
- Công thức: 
$\chi^2 = \sum \sum \frac{(n_{ij} - Lý\_thuyết)^2}{Lý\_thuyết}$ 
- Miền bác bỏ: $S = \{ \chi^2 \ge \chi^2_{(r-1)(s-1)}(\alpha) \}$. 
- Kết luận: Nếu thuộc miền bác bỏ $\rightarrow$ Bác bỏ tính độc lập $\rightarrow$ Hai biến có phụ thuộc nhau.

II.4.8. So sánh nhiều tỷ lệ

- Bài toán: $H: p_1 = p_2 = ... = p_s$. 
- Phương pháp: Quy về bài toán kiểm tra tính độc lập với bảng $2 \times s$. (Dấu hiệu A và $\overline{A}$ so với s đối tượng). 
- Công thức và miền bác bỏ giống hệt mục II.4.7.

II.5. TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY ĐƠN

Nghiên cứu mối quan hệ phụ thuộc tuyến tính (bậc nhất) giữa 2 biến: $Y = aX + b$.

II.5.1. Hệ số tương quan

- Hệ số tương quan mẫu ($r$): Đo mức độ phụ thuộc tuyến tính. 
$r = \frac{\overline{XY} - \overline{X}\overline{Y}}{s_x s_y}$ 
- Tính chất: 
+ $-1 \le r \le 1$. 
+ $|r|$ càng gần 1: Tương quan càng chặt chẽ (gần đường thẳng). 
+ $r > 0$: Đồng biến (tương quan dương); $r < 0$: Nghịch biến (tương quan âm). 
+ $r = 0$: Không có tương quan tuyến tính (nhưng có thể có tương quan phi tuyến).

Bảng đánh giá mức độ tương quan theo $|r|$: 
- $< 0.5$: Yếu / Rất yếu. 
- $0.5 - 0.7$: Trung bình. 
- $0.7 - 0.9$: Chặt. 
- $> 0.9$: Rất chặt.

II.5.2. Đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính

- Là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất đám mây số liệu thực tế, dùng để dự báo Y theo X. 
- Điều kiện sử dụng tốt: Khi $|r| \ge 0.7$ (Tương quan chặt). 
- Phương trình đường hồi quy thực nghiệm của Y theo X: 
$y - \overline{y} = r \frac{s_y}{s_x} (x - \overline{x})$ 
- Hoặc viết dạng: $y = ax + b$ với $a = r \frac{s_y}{s_x}$. 
- Sai số dự báo (Sai số bình phương trung bình): 
$s_{y/x}^2 = s_y^2 (1 - r^2)$ 
(Nhận xét: $|r|$ càng lớn thì sai số càng nhỏ, dự báo càng chính xác).