Tóm tắt kiến thức ôn tập chương 13 - Kinh tế lượng (NEU)

13.1. MÔ HÌNH AR, MA VÀ ARIMA

13.1.1. Quá trình tự hồi quy AR

Quá trình tự hồi quy bậc p, ký hiệu là AR(p), giải thích biến phụ thuộc thông qua các giá trị trễ của chính nó trong quá khứ và yếu tố ngẫu nhiên hiện tại. 
- Phương trình tổng quát: $Y_{t}=\phi_{0}+\phi_{1}Y_{t-1}+\phi_{2}Y_{t-2}+...+\phi_{p}Y_{t-p}+u_{t}$ Trong đó $u_{t}$ là nhiễu trắng (white noise).

- Điều kiện dừng: Quá trình AR(p) là chuỗi dừng nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trong vòng tròn đơn vị (module của nghiệm < 1).

13.1.2. Quá trình trung bình trượt MA

Quá trình trung bình trượt bậc q, ký hiệu là MA(q), giải thích biến phụ thuộc thông qua các sai số ngẫu nhiên hiện tại và quá khứ. 
- Phương trình tổng quát: $Y_{t}=u_{t}+\theta_{1}u_{t-1}+...+\theta_{q}u_{t-q}$ 
- Điều kiện khả nghịch: Chuỗi là khả nghịch nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm trong vòng tròn đơn vị. Điều này cho phép biểu diễn chuỗi MA vô hạn dưới dạng AR vô hạn.

13.1.3. Quá trình trung bình trượt và tự hồi quy ARMA

Đây là sự kết hợp giữa quá trình AR và MA để mô tả cơ chế sản sinh dữ liệu phức tạp hơn. 
- Phương trình ARMA(p,q): $Y_{t}=\theta+\phi_{1}Y_{t-1}+...+\phi_{p}Y_{t-p} + u_{t}+\theta_{1}u_{t-1}+...+\theta_{q}u_{t-q}$ 
Trong đó p là bậc tự hồi quy, q là bậc trung bình trượt.

13.1.4. Quá trình trung bình trượt, tích hợp, tự hồi quy ARIMA

Mô hình ARIMA dùng cho chuỗi thời gian không dừng (non-stationary). 
- Khái niệm Tích hợp (Integration): 
+ Chuỗi tích hợp bậc d, ký hiệu I(d), nếu sau khi lấy sai phân bậc d thì thu được một chuỗi dừng. 
+ Nếu $d=0$: Chuỗi gốc đã là chuỗi dừng. 
+ Nếu $d=1$: Sai phân bậc 1 $\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$ là chuỗi dừng.

- Mô hình ARIMA(p,d,q): 
+ d: Số lần lấy sai phân để chuỗi trở thành dừng. 
+ p: Bậc tự hồi quy của chuỗi dừng sau khi sai phân. 
+ q: Bậc trung bình trượt của chuỗi dừng sau khi sai phân. 
+ Đặc biệt: AR(p) tương đương ARIMA(p,0,0); MA(q) tương đương ARIMA(0,0,q).

Bảng tổng hợp: Nhận diện p và q qua ACF và PACF (Lý thuyết quan trọng)

*Lưu ý cho sinh viên: Trong thực tế, các đồ thị mẫu (sample correlogram) hiếm khi cắt cụt "sạch sẽ" như lý thuyết. Cần kết hợp với dải tin cậy 95% ($\pm 1.96/\sqrt{n}$) để đánh giá xem hệ số có khác 0 đáng kể hay không.

13.2. PHƯƠNG PHÁP BOX-JENKINS

Phương pháp Box-Jenkins là quy trình chuẩn để xây dựng mô hình ARIMA, gồm 3 bước lặp lại: Định dạng, Ước lượng và Kiểm định. Phương pháp này chủ yếu dựa vào dữ liệu quá khứ, phù hợp dự báo ngắn hạn, không phù hợp phân tích chính sách (mô hình phi lý thuyết).

(1) Định dạng mô hình - Xác định d, p, q

- Bước 1: Xác định d (Làm dừng chuỗi) 
+ Dùng đồ thị để quan sát xu thế. 
+ Dùng kiểm định nghiệm đơn vị (DF, ADF, PP) để kiểm tra tính dừng. 
+ Nếu không dừng, lấy sai phân cho đến khi dừng ($d$ là số lần sai phân).

- Bước 2: Xác định p, q 
+ Cách 1: Dùng lược đồ ACF và PACF (như bảng tổng hợp ở mục 13.1.4). Tuy nhiên phương pháp này mang tính chủ quan. 
+ Cách 2: Dùng các tiêu chuẩn thông tin (Information Criteria) để tránh mô hình quá nhiều tham số (quá khớp - overfitting). Mục tiêu là chọn mô hình có giá trị tiêu chuẩn nhỏ nhất. 
$AIC(p,q) = \ln(\hat{\sigma}^2(p,q)) + \frac{2(p+q)}{n}$ 
$BIC(p,q) = \ln(\hat{\sigma}^2(p,q)) + \frac{(p+q)\ln(n)}{n}$ (Tiêu chuẩn Schwarz) 
Chú ý: AIC có xu hướng chọn mô hình nhiều tham số hơn (p, q lớn hơn) so với BIC. Với mẫu lớn, BIC là ước lượng vững.

+ Cách 3: Kiểm định nhân tử Lagrange (LM Test) 
Kiểm định xem có nên bổ sung thêm bậc cho AR hoặc MA không. 
Giả thuyết $H_0: ARMA(p,q)$ so với $H_A: ARMA(p+r, q)$ hoặc $ARMA(p, q+s)$. 
Thống kê kiểm định dựa trên $\chi^2$ hoặc F từ mô hình hồi quy phần dư.

(2) Ước lượng mô hình

Sau khi xác định d, p, q, tiến hành ước lượng các tham số $\phi$ và $\theta$. 
- Phương pháp Yule-Walker: Giải hệ phương trình tuyến tính (chủ yếu cho AR). 
- Phương pháp OLS: Cực tiểu hóa tổng bình phương phần dư. Nếu có MA thì trở thành phi tuyến. 
- Phương pháp Hợp lý cực đại (MLE): Phổ biến nhất. Cực đại hóa hàm log-likelihood với giả định sai số phân phối chuẩn $u_t \sim N(0, \sigma^2)$. Quá trình thực hiện thường qua các bước lặp số học.

(3) Kiểm định tính thích hợp của mô hình

Mô hình tốt thì phần dư (residuals) phải là nhiễu trắng. 
- Kiểm định tự tương quan của phần dư: 
+ Quan sát lược đồ ACF/PACF của phần dư (không được có đỉnh nào vượt ra ngoài dải tin cậy). 
+ Thống kê Q (Box-Pierce): $Q = n\sum_{i=1}^{k}\hat{\rho}_{e,i}^2 \sim \chi^2(k-p-q)$ 
+ Thống kê Ljung-Box (LB): Phù hợp hơn cho mẫu nhỏ. $Q^* = n(n+2)\sum_{i=1}^{k}\frac{\hat{\rho}_{e,i}^2}{n-i} \sim \chi^2(k-p-q)$ Nếu $Q$ hoặc $Q^* > \chi^2_{\alpha}$, bác bỏ $H_0$ (phần dư là nhiễu trắng) $\rightarrow$ Mô hình chưa tốt.

- Kiểm định phân phối chuẩn (Jarque-Bera): 
Kiểm định xem phần dư có phân phối chuẩn không dựa trên hệ số bất đối xứng (Skewness - S) và hệ số nhọn (Kurtosis - K). 
$JB = n[\frac{S^2}{6} + \frac{(K-3)^2}{24}] \sim \chi^2(2)$

(4) Dự báo và sai số dự báo

- Dự báo điểm: Tại thời điểm t, dự báo cho thời điểm $t+h$ là kỳ vọng có điều kiện: $\hat{Y}_t(h) = E(Y_{t+h} | I_t)$. Đây là dự báo tối ưu theo nghĩa sai số bình phương trung bình (MSE) cực tiểu. 
- Nguyên tắc đệ quy: Có thể dùng chính giá trị dự báo để tính các giá trị tương lai xa hơn. 
- Khoảng tin cậy dự báo: Khoảng dự báo $(1-\alpha)$ cho bước h: $\hat{Y}_t(h) \pm u_{\alpha/2} \sigma(h)$ 
Trong đó $\sigma(h)$ là độ lệch chuẩn của sai số dự báo bước h. Chú ý: Khi h (tầm dự báo) càng tăng, độ rộng của khoảng tin cậy càng lớn (sai số càng tăng).

13.3. MÔ HÌNH ARIMA CÓ YẾU TỐ THỜI VỤ

Khi chuỗi thời gian có tính mùa vụ (ví dụ: số liệu theo quý, tháng), mô hình cần mở rộng thành SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s. 
- Toán tử trễ mùa vụ: $L^s$ với s là chu kỳ (s=4 cho quý, s=12 cho tháng). 
- Xử lý mùa vụ: 
+ Lấy sai phân mùa vụ: $(1-L^s)Y_t = Y_t - Y_{t-s}$. 
+ Dùng các đa thức trễ theo mùa vụ cho cả phần AR và MA. 
- Cấu trúc tổng quát: Kết hợp giữa bộ lọc phi mùa vụ (ARIMA thường) và bộ lọc mùa vụ. 
Ví dụ: Nếu $Y_t$ và $u_t$ đều có tính mùa vụ, mô hình sẽ chứa các thành phần dạng $(1-L^s)$ ở cả hai vế phương trình.

TỔNG HỢP KIẾN THỨC CẦN NHỚ (DÀNH CHO SINH VIÊN)

1. Phân biệt các ký hiệu: 
- $\phi$: Tham số của phần Tự hồi quy (AR). 
- $\theta$: Tham số của phần Trung bình trượt (MA). 
- $d$: Bậc sai phân (Difference). 
- $s$: Chu kỳ thời vụ (Seasonality).

2. Quy tắc thực hành quan trọng: 
- Luôn kiểm tra tính dừng trước tiên. Nếu chưa dừng $\rightarrow$ Lấy sai phân. 
- Mô hình càng đơn giản (ít tham số) càng tốt (nguyên lý Parsimony), ưu tiên BIC nhỏ. 
- Kiểm định "Nhiễu trắng" của phần dư là bước bắt buộc cuối cùng để chấp nhận mô hình. 
- Dự báo càng xa (h lớn) thì độ tin cậy càng giảm (khoảng tin cậy loe rộng ra).