Tóm tắt kiến thức ôn tập chương 12 - Kinh tế lượng (NEU)

12.1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG VÀ KHÔNG DỪNG

Chuỗi thời gian $Y_t$ là một phép thử của một quá trình ngẫu nhiên. Một chuỗi thời gian được gọi là dừng (stationary) nếu các đặc trưng thống kê của nó (kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai) không thay đổi theo thời gian. 
Điều kiện để chuỗi $Y_t$ là chuỗi dừng: 
- Trung bình không đổi: $E(Y_t) = \mu$ với mọi $t$. 
- Phương sai không đổi: $Var(Y_t) = E(Y_t - \mu)^2 = \sigma^2$ với mọi $t$. 
- Hiệp phương sai chỉ phụ thuộc vào khoảng cách thời gian (độ trễ k), không phụ thuộc vào thời điểm t: $\gamma_k = Cov(Y_t, Y_{t-k}) = E[(Y_t - \mu)(Y_{t-k} - \mu)]$ không đổi theo $t$.

Chuỗi $Y_t$ là không dừng nếu vi phạm bất kỳ điều kiện nào ở trên (thường gặp nhất là phương sai hoặc kỳ vọng thay đổi theo thời gian). 
Hàm tự tương quan (ACF) tại độ trễ k: $\rho_k = \frac{\gamma_k}{\gamma_0} = \frac{Cov(Y_t, Y_{t+k})}{Var(Y_t)}$.

Bảng so sánh: Dấu hiệu nhận biết qua đồ thị

12.2. MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN GIẢN ĐƠN

12.2.1. Nhiễu trắng

Quá trình $u_t$ là nhiễu trắng (white noise) nếu: 
- $E(u_t) = 0$ 
- $Var(u_t) = \sigma^2$ 
- $Cov(u_t, u_{t+s}) = 0$ với $s \neq 0$ (không có tự tương quan). 
Lưu ý: Nhiễu trắng là một quá trình dừng cơ bản nhất. Nếu $u_t \sim N(0, \sigma^2)$ thì gọi là nhiễu trắng Gauss.

12.2.2. Bước ngẫu nhiên

Mô hình bước ngẫu nhiên (Random Walk): $Y_t = Y_{t-1} + u_t$ 
Các đặc trưng thống kê: 
- Kỳ vọng: $E(Y_t) = Y_0$ (nếu $Y_0$ cố định). 
- Phương sai: $Var(Y_t) = t\sigma^2$ (Phụ thuộc vào thời gian $t$). 
- Hiệp phương sai: $Cov(Y_t, Y_{t-k}) = (t-k)\sigma^2$. 
Kết luận: Bước ngẫu nhiên là chuỗi không dừng (do phương sai tiến tới vô cùng khi t tăng). 
Tuy nhiên, sai phân bậc nhất của bước ngẫu nhiên là nhiễu trắng: $\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1} = u_t$ (là chuỗi dừng).

Bước ngẫu nhiên có hệ số chặn (có "bụi" - Random walk with drift): 
Mô hình: $Y_t = \alpha + Y_{t-1} + u_t$ 
- Kỳ vọng: $E(Y_t) = Y_0 + \alpha t$ (Kỳ vọng thay đổi theo thời gian). 
- Phương sai: $Var(Y_t) = t\sigma^2$. 
Đây cũng là chuỗi không dừng.

12.2.3. Quá trình trung bình trượt (MA)

MA(1): $Y_t = \mu + u_t + \theta u_{t-1}$ 
- Kỳ vọng: $E(Y_t) = \mu$ 
- Phương sai: $Var(Y_t) = \sigma^2(1 + \theta^2)$ 
- Hiệp phương sai: $\gamma_1 = \theta \sigma^2$; $\gamma_k = 0$ với $k > 1$. 
MA(q): $Y_t = \mu + u_t + \theta_1 u_{t-1} + ... + \theta_q u_{t-q}$ 
Lưu ý quan trọng: Mọi quá trình MA(q) hữu hạn luôn là chuỗi dừng bất kể giá trị của các tham số $\theta$. 
Điều kiện khả nghịch (Invertibility): Các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm ngoài đường tròn đơn vị.

12.2.4. Quá trình tự hồi quy (AR)

AR(1): $Y_t = \phi Y_{t-1} + u_t$ 
- Điều kiện dừng: $|\phi| < 1$. 
- Nếu $|\phi| = 1$: Chuỗi không dừng (trở thành bước ngẫu nhiên). 
- Nếu $|\phi| < 1$: + $E(Y_t) = 0$ + $Var(Y_t) = \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}$ + $ACF(k) = \phi^k$ (giảm dần theo hàm mũ).

AR(p): $Y_t = \phi_0 + \phi_1 Y_{t-1} + ... + \phi_p Y_{t-p} + u_t$ 
- Điều kiện dừng: Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng $1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - ... - \phi_p z^p = 0$ đều nằm ngoài đường tròn đơn vị (nghiệm $|z| > 1$).

Chú ý phân biệt: 
+ Một cú sốc (shock) trong chuỗi dừng (AR với $|\phi|<1$) có ảnh hưởng giảm dần và biến mất theo thời gian. 
+ Một cú sốc trong chuỗi không dừng (Random Walk, $\phi=1$) có ảnh hưởng vĩnh viễn (lưu lại mãi mãi trong chuỗi).

12.2.5. Quá trình trung bình trượt tự hồi quy (ARMA)

Mô hình ARMA(p, q): $\phi(L)Y_t = \phi_0 + \theta(L)u_t$ 
Trong đó $\phi(L)$ là đa thức phần tự hồi quy, $\theta(L)$ là đa thức phần trung bình trượt. 
- Tính dừng phụ thuộc hoàn toàn vào phần AR ($\phi(L)$). 
- Tính khả nghịch phụ thuộc hoàn toàn vào phần MA ($\theta(L)$).

12.3. KIỂM ĐỊNH NGHIỆM ĐƠN VỊ

Mục đích: Xác định xem chuỗi có dừng hay không (có chứa nghiệm đơn vị $\rho=1$ hay không).

12.3.1. Kiểm định Dickey-Fuller (DF) và Dickey-Fuller mở rộng (ADF)

Xét mô hình AR(1): $Y_t = \rho Y_{t-1} + u_t$. 
Biến đổi sang dạng sai phân: $\Delta Y_t = \delta Y_{t-1} + u_t$ với $\delta = \rho - 1$. 
Cặp giả thuyết: 
- $H_0: \delta = 0$ (tức là $\rho = 1$): Chuỗi có nghiệm đơn vị (Không dừng). 
- $H_1: \delta < 0$ (tức là $\rho < 1$): Chuỗi dừng.

Thống kê kiểm định: $\tau = \frac{\hat{\delta}}{Se(\hat{\delta})}$. 
Lưu ý quan trọng: Thống kê $\tau$ này KHÔNG tuân theo phân bố Student (t) thông thường mà tuân theo phân bố Dickey-Fuller (phân bố lệch trái). Phải so sánh với giá trị tới hạn MacKinnon.

3 mô hình kiểm định DF cơ bản: 
1. Không chặn, không xu thế: $\Delta Y_t = \delta Y_{t-1} + u_t$ 
2. Có chặn, không xu thế: $\Delta Y_t = \beta_1 + \delta Y_{t-1} + u_t$ 
3. Có chặn, có xu thế: $\Delta Y_t = \beta_1 + \beta_2 t + \delta Y_{t-1} + u_t$

Kiểm định ADF (Augmented Dickey-Fuller): 
Dùng khi phần dư $u_t$ có tự tương quan. Mô hình bổ sung thêm các sai phân trễ của biến phụ thuộc: $\Delta Y_t = \beta_1 + \beta_2 t + \delta Y_{t-1} + \sum_{i=1}^{q}\alpha_i \Delta Y_{t-i} + \epsilon_t$ 
Quy tắc quyết định: Nếu $|\tau_{tinh}| > |\tau_{tới hạn}|$ (giá trị thống kê nhỏ hơn giá trị tới hạn về phía âm) => Bác bỏ $H_0$ => Chuỗi dừng.

12.3.2. Kiểm định Phillips và Perron (PP)

Kiểm định PP là một phương pháp phi tham số để xử lý vấn đề tự tương quan và phương sai sai số thay đổi (heteroscedasticity) trong $u_t$ mà không cần thêm các biến sai phân trễ như ADF. Giả thuyết và quy tắc quyết định tương tự như DF.

12.3.3. Kiểm định nghiệm đơn vị và sự thay đổi cấu trúc

Khi chuỗi có sự thay đổi về cấu trúc (structural break - ví dụ: thay đổi chính sách, khủng hoảng), kiểm định DF/ADF tiêu chuẩn có xu hướng sai lầm (chấp nhận $H_0$ là không dừng sai lầm). 
Perron đề xuất các mô hình cho phép thay đổi hệ số chặn (intercept) hoặc hệ số xu thế (trend) tại thời điểm gãy $T_b$ (biến giả $DU_t, DT_t$).

12.4. HÀM TỰ TƯƠNG QUAN

12.4.1 & 12.4.2. ACF và PACF

Dùng để nhận dạng bậc p, q của mô hình ARMA. 
- ACF (Autocorrelation Function): Đo lường tương quan toàn phần giữa $Y_t$ và $Y_{t-k}$. 
- PACF (Partial Autocorrelation Function): Đo lường tương quan trực tiếp giữa $Y_t$ và $Y_{t-k}$ sau khi đã loại bỏ ảnh hưởng của các biến trung gian ($Y_{t-1}, ..., Y_{t-k+1}$).

Bảng tổng hợp nhận dạng mô hình (Box-Jenkins):

12.4.3. Các kiểm định về tự tương quan

- Kiểm định từng hệ số $\rho_k$: Kiểm tra xem $\hat{\rho}_k$ có nằm trong khoảng tin cậy $\pm \frac{2}{\sqrt{n}}$ không. 
- Kiểm định nhóm (Joint test) - Kiểm định Q (Box-Pierce hoặc Ljung-Box): 
Giả thuyết $H_0: \rho_1 = \rho_2 = ... = \rho_m = 0$ (Không có tự tương quan đến bậc m). 
Thống kê Ljung-Box: $LB = n(n+2)\sum_{k=1}^{m}\frac{\hat{\rho}_k^2}{n-k} \sim \chi^2(m)$. 
Nếu giá trị LB lớn (p-value nhỏ) => Bác bỏ $H_0$ => Chuỗi có tự tương quan (không phải nhiễu trắng).

12.5 & 12.6. CHUỖI KHÔNG DỪNG VÀ HỒI QUY GIẢ MẠO

Hồi quy giả mạo (Spurious Regression)

Xảy ra khi hồi quy giữa các chuỗi thời gian không dừng (Non-stationary). 
Dấu hiệu nhận biết (Granger & Newbold): 
- Hệ số $R^2$ rất cao (gần bằng 1). 
- Thống kê t rất lớn (các biến có ý nghĩa thống kê cao). 
- Nhưng: Hệ số Durbin-Watson (d) rất thấp ($R^2 > d$). 
Hậu quả: Kết quả hồi quy vô nghĩa, không phản ánh quan hệ nhân quả thực sự mà chỉ là xu thế chung.

Các khái niệm liên quan

- Dừng xu thế (Trend-stationary - TSP): Chuỗi trở thành dừng sau khi loại bỏ xu thế thời gian (Hồi quy $Y_t$ theo $t$, phần dư $u_t$ dừng). 
- Dừng sai phân (Difference-stationary - DSP): Chuỗi trở thành dừng sau khi lấy sai phân. 
- Tích hợp bậc d - I(d): Chuỗi phải lấy sai phân d lần mới trở thành dừng. + I(0): Chuỗi dừng. + I(1): Chuỗi không dừng, nhưng sai phân bậc 1 $\Delta Y_t$ là dừng.

12.7. KIỂM ĐỊNH HỒI QUY ĐỒNG TÍCH HỢP

Định nghĩa Đồng tích hợp (Cointegration): Nếu hai chuỗi $Y_t$ và $X_t$ đều không dừng (cùng là I(1)), nhưng tồn tại một tổ hợp tuyến tính $u_t = Y_t - \beta_1 - \beta_2 X_t$ là một chuỗi dừng I(0), thì X và Y được gọi là đồng tích hợp. Điều này ngụ ý có một mối quan hệ cân bằng dài hạn giữa chúng.

12.7.1. Kiểm định Engle-Granger (EG)

Quy trình: 
1. Hồi quy OLS mô hình gốc: $Y_t = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_t + e_t$. 
2. Lấy phần dư $e_t$. 
3. Kiểm định nghiệm đơn vị (ADF) cho chuỗi phần dư $e_t$. 
Lưu ý: Phải dùng bảng giá trị tới hạn riêng của Engle-Granger (không dùng bảng DF thông thường) vì $e_t$ là phần dư ước lượng. Nếu bác bỏ $H_0$ (phần dư dừng) => Có đồng tích hợp.

12.7.2. Kiểm định CRDW

Sử dụng thống kê Durbin-Watson từ hồi quy gốc. 
Giả thuyết $H_0: d=0$ (Không đồng tích hợp). 
Nếu thống kê d > giá trị tới hạn (ví dụ 0.511 ở mức 1%) => Bác bỏ $H_0$ => Có đồng tích hợp.

12.8. MÔ HÌNH HIỆU CHỈNH SAI SỐ (ECM)

Nếu hai biến $Y_t, X_t$ đồng tích hợp, ta có thể xây dựng mô hình ECM để nắm bắt cả động thái ngắn hạn và dài hạn. 
Phương trình ECM: $\Delta Y_t = \beta_1 + \beta_2 \Delta X_t + \beta_3 EC_{t-1} + \epsilon_t$ 
Trong đó: 
- $\Delta Y_t, \Delta X_t$: Biến động ngắn hạn (đã lấy sai phân nên là dừng). 
- $EC_{t-1}$: Phần dư từ phương trình dài hạn trễ 1 thời kỳ ($Y_{t-1} - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_{t-1}$). 
- $\beta_3$: Hệ số điều chỉnh tốc độ (thường phải âm, $-1 < \beta_3 < 0$), cho biết tốc độ điều chỉnh sự mất cân bằng trong ngắn hạn để quay về trạng thái cân bằng dài hạn.