Tóm tắt kiến thức chương 1 - Thống kê xã hội học (USSH)

1.1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Đây là công cụ toán học cơ bản để đếm số biến cố sơ cấp. Trong khuôn khổ môn học, cần tập trung kỹ nhất vào Tổ hợp và Luật tích.

Tổ hợp ($C_{n}^{k}$)

- Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên $k$ phần tử từ tập $n$ phần tử ($k \le n$) mà không quan tâm đến thứ tự sắp xếp.
- Công thức: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
- Quy ước: $0! = 1$; $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$; $C_{n}^{1} = n$.
- Tính chất: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$ (Chọn lấy ra $k$ phần tử cũng chính là chọn để lại $n-k$ phần tử).

Luật tích (Quy tắc nhân)

- Áp dụng khi một công việc được chia thành nhiều bước liên tiếp ($k$ bước).
- Nếu bước 1 có $n_1$ cách, bước 2 có $n_2$ cách... thì tổng số cách thực hiện là: $n_1 . n_2 ... n_k$

Lưu ý quan trọng: Phân biệt "Tổ hợp" và "Luật tích":
+ Dùng Tổ hợp khi lấy ra cùng lúc, lấy 1 lần (ví dụ: thò tay bốc 1 nắm 3 viên bi).
+ Dùng Luật tích khi thực hiện nhiều lần, nhiều bước (ví dụ: bốc lần 1, rồi bốc lần 2...).

1.2. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

- Phép thử ngẫu nhiên: Hành động mà kết quả không thể khẳng định chắc chắn trước khi thực hiện.
- Biến cố (Event): Một khả năng/tình huống có thể xảy ra của phép thử.
- Biến cố sơ cấp: Biến cố không thể phân tích nhỏ hơn được nữa.

1.3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (Cổ điển)

- Định nghĩa: Xác suất của biến cố $A$, ký hiệu $P(A)$, là tỷ số giữa số biến cố sơ cấp thuận lợi cho $A$ và tổng số biến cố sơ cấp của phép thử.
- Công thức: $P(A) = \frac{\text{Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A}}{\text{Số biến cố sơ cấp của phép thử}} = \frac{m}{n}$
- Điều kiện áp dụng: Các biến cố sơ cấp phải có tính đồng khả năng (khả năng xảy ra như nhau).

Tính chất cơ bản:
- $0 \le P(A) \le 1$
- $P(\phi) = 0$; $P(\Omega) = 1$
- $P(A) + P(\overline{A}) = 1$ (với $\overline{A}$ là biến cố đối lập).

1.4. CÔNG THỨC XÁC SUẤT CỦA TỔNG VÀ TÍCH HAI BIẾN CỐ

Các khái niệm quan hệ

- Tổng ($A \cup B$): $A$ hoặc $B$ xảy ra (ít nhất một trong hai xảy ra).
- Tích ($AB$): Cả $A$ và $B$ cùng xảy ra.
- Xung khắc: $A$ và $B$ không thể cùng xảy ra ($AB = \phi$).
- Đối lập: $\overline{A}$ là phần bù của $A$. $A$ và $\overline{A}$ vừa xung khắc vừa tạo thành hệ đầy đủ ($A \cup \overline{A} = \Omega$).
- Độc lập: Việc xảy ra của $A$ không ảnh hưởng đến xác suất của $B$ và ngược lại.

Công thức tính toán

Mẹo ghi nhớ:
- Thấy từ "Hoặc" / "ít nhất 1" $\rightarrow$ nghĩ đến phép Tổng ($+$).
- Thấy từ "Và" / "đồng thời" / "cả hai" $\rightarrow$ nghĩ đến phép Tích ($.$).
- Khi tính xác suất "có ít nhất một...", nên dùng biến cố đối lập: $P(A) = 1 - P(\text{không có cái nào})$.

1.5. DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI

Định nghĩa

Một dãy gồm $n$ phép thử độc lập được gọi là Bernoulli nếu:
1. Mỗi phép thử chỉ có 2 kết cục: $A$ (thành công) và $\overline{A}$ (thất bại).
2. Xác suất xảy ra $A$ là không đổi trong mọi phép thử: $P(A) = p$ (suy ra $P(\overline{A}) = 1-p$).

Công thức Bernoulli

Xác suất để trong $n$ phép thử, biến cố $A$ xuất hiện đúng $k$ lần (hoặc $m$ lần):
$P_n(k; p) = C_{n}^{k} . p^k . (1-p)^{n-k}$

Số có khả năng nhất ($m_0$)

Là số lần xuất hiện của $A$ có xác suất lớn nhất trong $n$ phép thử. Quy tắc tìm $m_0$:
- Tính giá trị: $np + p - 1$
- Nếu kết quả là số nguyên: có 2 giá trị $m_0$ là $(np + p - 1)$ và $(np + p)$.
- Nếu kết quả là số thập phân: $m_0$ là phần nguyên của kết quả cộng thêm 1: $m_0 = [np + p - 1] + 1$ (hoặc hiểu đơn giản là số nguyên nằm giữa khoảng $(np-q; np+p)$).

1.6. BIẾN NGẪU NHIÊN

Phân loại biến ngẫu nhiên (BNN):

- Rời rạc: Giá trị nhận được là các điểm rời rạc, đếm được (ví dụ: số con cái, số điểm thi). Được xác định bằng Bảng phân phối xác suất.
- Liên tục: Giá trị lấp đầy một khoảng (ví dụ: chiều cao, cân nặng). Được xác định bằng Hàm mật độ xác suất $p(x)$.

Chú ý: Tổng xác suất trong bảng phân phối rời rạc phải bằng 1 ($\sum p_i = 1$). Diện tích dưới đường cong hàm mật độ liên tục phải bằng 1 ($\int p(x)dx = 1$).

1.7. HÀM PHÂN PHỐI

- Định nghĩa: $F(x) = P(X < x)$. (Xác suất để BNN nhận giá trị nhỏ hơn $x$).
- Tính chất:
+ Miền giá trị: $0 \le F(x) \le 1$.
+ Là hàm không giảm.
+ $F(-\infty) = 0$; $F(+\infty) = 1$.
+ Công thức quan trọng: $P(a \le X < b) = F(b) - F(a)$.

1.8. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

1. Kỳ vọng (Expectation - EX)

- Ý nghĩa: Là giá trị trung bình (trung bình có trọng số).
- Công thức (Rời rạc): $EX = \sum_{i} x_i . p_i$
- Tính chất: $E(C) = C$; $E(CX) = C.EX$; $E(X \pm Y) = EX \pm EY$.

2. Phương sai (Variance - DX)

- Ý nghĩa: Đo mức độ phân tán (độ rủi ro, độ lệch) của các giá trị quanh kỳ vọng.
- Công thức tính nhanh: $DX = E(X^2) - (EX)^2$
trong đó $E(X^2) = \sum x_i^2 . p_i$ (với rời rạc).
- Độ lệch tiêu chuẩn ($\sigma$): $\sigma_X = \sqrt{DX}$ (cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên).
- Tính chất: $D(C) = 0$; $D(CX) = C^2.DX$; Nếu $X, Y$ độc lập thì $D(X \pm Y) = DX + DY$.

3. Mode và Median

- Mode (ModX): Giá trị có xác suất lớn nhất (với rời rạc) hoặc hàm mật độ cực đại (với liên tục).
- Median (MedX): Giá trị chia đôi khối lượng xác suất (phần bên trái và bên phải đều là $0.5$).

1.9. MỘT VÀI PHÂN PHỐI CẦN DÙNG

Lưu ý về Phân phối chuẩn

- Phân phối chuẩn tắc $N(0; 1)$: Là phân phối chuẩn với $\mu=0, \sigma=1$. Hàm phân phối ký hiệu là $\Phi(x)$ (tra bảng).
- Chuyển đổi: Mọi biến $X \sim N(\mu; \sigma^2)$ đều có thể chuyển về dạng chuẩn tắc bằng công thức: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.
- Công thức tính xác suất trên đoạn:
$P(a < X < b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$
(Lưu ý: $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$).

Các phân phối khác (Dùng trong thống kê suy diễn)

- Phân phối Khi bình phương ($\chi^2_k$): Liên quan đến tổng bình phương các biến chuẩn tắc.
- Phân phối Student ($t_k$): Dùng khi cỡ mẫu nhỏ, $\sigma$ chưa biết. Có hình dạng giống phân phối chuẩn nhưng "thấp" hơn ở đỉnh và "cao" hơn ở 2 đuôi.