Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực Nam Định 2024 - 2025 (Đề 14)

1) Chứng minh đẳng thức $\frac{4}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \sqrt {12} = 2\sqrt 5 .$

2) Rút gọn biểu thức $F = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)$ với $x > 0$ và $x e 1.$

Cho phương trình ${x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0$ (với $m$ là tham số).

1) Giải phương trình với $m = 1.$

2) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn:

$\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2.\end{array} \right.$

1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác $ABCD$ (như hình vẽ). Biết $AB$ vuông góc với $CD$ tại $H;$ $AB = 4{\rm{\;m;}}$ $BC = 26{\rm{\;m}};$ $CD = 16{\rm{\;m;}}$ $\sin \widehat {BCD} = \frac{5}{{13}}.$

Tính diện tích của mảnh vườn (phần tô đậm).

2) Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right),\,\,AB < AC.$ Tiếp tuyến với $\left( O \right)$ tại $A$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M.$ Gọi $H$ là trung điểm của $BC.$

a) Chứng minh rằng các điểm $A,\,\,O,\,\,H,\,\,M$ cùng nằm trên một đường tròn và $M{A^2} = MB \cdot MC.$

b) Từ điểm $C$ kẻ đường thẳng song song với $MO$ cắt đường kính $AD$ của đường tròn $\left( O \right)$ tại

1) Giải phương trình $2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} .$

2) Cho các số thực dương $x,\,\,y$ thỏa mãn $x + y \le 2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \frac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{10}}{{xy}} + 8xy + 3.$