Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án

Chuyên đề Toán 11
Chuyên đề 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
Lớp 11;Toán

Bộ sưu tập: TOÁN 11

Số câu hỏi: 91 câuSố mã đề: 4 đềThời gian: 1 giờ

Chọn hình thức ôn tập:

Làm bài thi trực tiếp (4 mã đề) Ôn luyện theo câu hỏi (Flashcard)

Bạn chưa làm Đề số 1!

Xem trước nội dung

Câu 1: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

n \geq 2

, ta luôn có

2^{n + 1} > 2 n + 3 (*)

Câu 2: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $1.4 + 2.7 + ... + n (3 n + 1) = n {(n + 1)}^{2} (1)$

Câu 3: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ , ta có ${1.2}^{2} + {2.3}^{3} + {3.4}^{4} + ... + (n - 1) n^{2} = \frac{n (n^{2} - 1) (3 n + 2)}{12} (1)$

Câu 4: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} (1)$

Câu 5: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ ta có $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{n + n} > \frac{13}{24} (1)$

Câu 6: 1 điểm

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh

(n \geq 4)

là

\frac{n (n - 3)}{2} .

Câu 7: 1 điểm

Chứng minh rằng mọi n – giác lồi

(n \geq 5)

đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.

Câu 8: 1 điểm

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu

u_{n} = 9^{n} - 1.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u_n luôn chia hết cho 8.

Câu 9: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi

n \in ℕ^{*}, n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)

chia hết cho 120.

Câu 1: 1 điểm

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên

n \geq p

(p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

k > p

k \geq p

k = p

k < p

Câu 2: 1 điểm

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Sai từ bước 1

Sai từ bước 3

Sai từ bước 2

Lập luận hoàn toàn đúng

Câu 3: 1 điểm

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Sai từ bước 1

Sai từ bước 3

Sai từ bước 2

Lập luận hoàn toàn đúng

Câu 4: 1 điểm

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Sai từ bước 1

Sai từ bước 3

Sai từ bước 2

Lập luận hoàn toàn đúng

Câu 5: 1 điểm

Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho:

$(I) k \in A; (I I) n \in A \Rightarrow n + 1 \in A, \forall n \geq k$

Lúc đó ta có

Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A.

Mọi số nguyên dương đều thuộc A.

Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.

Mọi số nguyên đều thuộc A.

Câu 6: 1 điểm

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $n \geq p$ với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

Chỉ có bước 2 đúng.

Cả hai bước đều đúng.

Cả hai bước đều sai.

Chỉ có bước 1 đúng.

Câu 7: 1 điểm

Với mọi

n \in ℕ^{*},

khẳng định nào sau đây sai?

1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .

1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n^{2} .

1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .

2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .

Câu 8: 1 điểm

Cho

S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} với n \in ℕ *

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

S_{n} = \frac{n - 1}{n} .

S_{n} = \frac{n}{n + 1} .

S_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} .

S_{n} = \frac{n + 2}{n + 3} .

Câu 9: 1 điểm

Cho dãy số (u_n) với $\begin{array}{l} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + {(- 1)}^{2 n} \end{array} .$ Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

u_{n} = 1 + n .

u_{n} = 1 - n .

u_{n} = 1 + {(- 1)}^{2 n} .

u_{n} = n .

Câu 10: 1 điểm

Cho dãy xác định bởi công thức

\begin{array}{l} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n}, \forall n \in ℕ^{*} \end{array} .

Số hạng tổng quát của dãy u_n là

u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}} .

u_{n} = \frac{3}{2^{n}} .

u_{n} = \frac{3}{2^{n} + 1} .

u_{n} = \frac{3}{2^{n} - 1} .

Câu 11: 1 điểm

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{array}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

\{\begin{cases} u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .

\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .

\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .

\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{4} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .

Câu 12: 1 điểm

Cho dãy số

(u_{n})

xác định bởi

\begin{array}{l} u_{1} = \cos α (0 < α < π) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}}, \forall n \geq 1 \end{array}

. Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là

u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2020}}) .

u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2019}}) .

u_{2020} = \sin (\frac{α}{2^{2021}}) .

u_{2020} = \sin (\frac{α}{2^{2020}}) .

Đề thi, câu hỏi, đáp án và lời giải trên LetQA do người dùng đóng góp hoặc được tổng hợp với sự hỗ trợ của AI nên có thể có sai sót, chỉ mang tính tham khảo phục vụ ôn luyện và không thể hiện quan điểm của LetQA. Với các học phần lý luận chính trị và pháp luật, bạn hãy đối chiếu với giáo trình chính thức và văn bản pháp luật đang có hiệu lực. Xem miễn trừ trách nhiệm

Tuyển tập bộ đề

TOÁN 11

1.946 xem

Đề thi tương tự

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Các công thức lượng giác cơ bản có đáp án

4 mã đề 92 câu hỏi

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

4 mã đề 30 câu hỏi

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án

4 mã đề 83 câu hỏi

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án

5 mã đề 75 câu hỏi

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án

3 mã đề 87 câu hỏi