Bài tập Toán 9 Chủ đề 4: Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học có đáp án

Cho đ­ường tròn (O) đ­ường kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đ­ường tròn   $(C\ne A;C\ne B)$. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ­ường tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N.

Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .

Cho điểm nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D),OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I . Chứng minh:
a/ $MAOB$ nội tiếp.

Chứng minh: b, MC. MD= $M{A}^2$

c, Chứng minh: $OH.OM+MC.MD=M{O}^{2 }$

d/ CI là tia phân giác của góc góc  $\stackrel{⏜}{MCH}$ .

Cho đường tròn tâm O  , đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn(O)  tại A lấy điểm  M $\left(M\ne A\right)$ . Từ  vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) ( C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc vớiAB $\left(H\in AB\right)$ ,MB   cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại K. Chứng minh rằng:

b, Chứng minh rằng: $A{M}^2=MK.MB$

c, Chứng minh rằng: $\widehat{KAC}=\widehat{OMB}$

d/ N là trung điểm của CH.

Cho đường tròn (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến  AB và AC với đường tròn. Kẻ dây $CD\text{//}AB$ . Nối AD cắt đường tròn (O) tại E . Chứng minh:

Chứng minh:

b/  $A{B}^2=AE.AD.$

Chứng minh:

c/ $\Delta BDC$  cân.

d/ CE kéo dài cắt AB ở I . Chứng minh IA=IB .

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB;  IK vuông góc với AD ( $H\in AB;K\in AD$ ).

a) Chứng minh tứ giác $AHIK$  nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng $IA.IC=IB.ID$

c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.

Cho $∆ABC$  có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm  D và E Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng  CD và BE

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

b) Gọi M là giao điểm của AH và BC Chứng minh CM.CB=CE.CA

c) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Cho   $\Delta ABC$có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O)  . Đường cao CD của $\Delta ABC$  cắt đường tròn (O)   tại E . Từ B kẻ $BF\perp AE$  tại F .

a) Chứng minh tứ giác $BDEF$  nội tiếp được đường tròn.

b) Kẻ đường cao BK của $\Delta ABC$ . Chứng minh: $\frac{EF}{BF}=\frac{CK}{BK}$ .

c) Chứng minh: $\frac{AE}{BF}+\frac{AC}{BK}=\frac{AF}{BF}+\frac{AC}{BK}$ .

d) Chứng minh:  $\frac{CE}{BD}=\frac{AE}{BF}+\frac{AC}{BK}$

Cho nửa đường tròn (O)  đường kính AB=2R , dây cung AC . Gọi  M là điểm chính giữa cung AC . Đường thẳng kẻ từ C  song song với  BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở  D,  cắt AC  tại  H.

1. Chứng minh tứ giác  $CKMH$  nội tiếp.

2. Chứng minh $CD=MB$   và   $DM=CB$

3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Cho đường tròn tâm O đường kính A , M là một điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( M khác O   và B ). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB cắt (O) tại C, D . Trên tia MD lấy E   nằm ngoài (O) . Đường thẳng AE cắt (O) tại điểm I khác A , đường thẳng BE cắt (O) tại điểm K khác B . Gọi  H là giao điểm của BI và. Chứng minh:

a) Tứ giác $MBEI$  nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đó.

b) Các tam giác IEH và MEA đồng dạng với nhau.

c, Chứng minh: $EC.ED=EH.EM$

d) Khi E thay đổi trên, đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Cho đường tròn tâm O bán kính R , hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M khác O , đường thẳng CM cắt đường tròn tại N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với dường tròn tại N ở điểm P .

a) Chứng minh: Tứ giác $OMNP$  nội tiếp.

b) Chứng minh:  $\Delta MCO=\Delta OPM$  , suy ra OMPD là hình chữ nhật.

c) Chứng minh:  $CM\text{//}OP$  .

c) Chứng minh:  $CM\text{//}OP$  .

d) Tính tích CM.CN theo R .

Cho đường tròn (O,R) và AB dây , vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K ( D thuộc cung nhỏ AB ). Lấy điểm  thuộc cung nhỏ BC  , DM cắt  AB tại F.

a. Chứng minh tứ giác $CKFM$ nội tiếp.

b. Chứng minh: $DF.DM=A{D}^2$.

c. Tia cắt CM đường thẳng AB tại E . Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AF tại I . Chứng minh: IE=IF

d. Chứng minh:  $\frac{FB}{EB}=\frac{KF}{KA}$

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH . Dựng đường tròn tâm O đường kính AH   cắt AB tại E  , AC cắt tại F  . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E , F lần lượt cắt cạnh BC tại M và N.

a) Chứng minh rằng tứ giác $MEOH$  nội tiếp

b) Chứng minh rằng $AB.HE=AH.HB$

c) Chứng minh ba điểm  $E,O,F$  thẳng hàng.

d) Cho $AB=2\sqrt{10}cm$ , $AC=2\sqrt{15}cm$ . Tính diện tích $\Delta MON$ .

Cho tam giác ABC  vuông cân tại A , nội tiếp trong đường tròn tâm O . Tiếp tuyến tại  B với đường tròn (O) cắt tia CA tại D . Trên cạnh AB lấy điểm E (  E không trùng với A và B ). Tia CE cắt đường tròn (O) tại F và cắt BD tại K . Tia BF cắt CD tại M .

a) Chứng minh $\Delta MAB\backsim \Delta MFC$ .

b) Chứng minh tứ giác  $AFKD$  nội tiếp.

c) Tứ giác MDBH là hình gì?

d) Chứng minh  $AB.EB+CE.CF=B{C}^2$

Cho đường tròn (O,R) và hai đường kính AB,CD bất kì. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E,F . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của các đường thẳng AE, AF.

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.

b) Chứng minh rằng   $CE.DF.EF=A{B}^3$và  $\frac{B{E}^3}{B{F}^3}=\frac{CE}{DF}$

c) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA

Cho đường tròn (O,R)  đường kính AB=2R  dây cung MN của (O)  vuông góc AB với tại I sao cho IA<IB . Trên đoạn MI   lấy điểm $E(E\ne M,E\ne I)$ . Tia AE  cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K

a) Chứng minh tứ giác $IEKB$ nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh  $A{M}^2=AE.AK.$

c) Chứng minh  $AE.AK+BI.BA=4R^2.$

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng   $\frac{DM}{DE}=\frac{CM}{CE}$

c) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi.