Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Tích phân có đáp án

Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Giá trị của \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) bằng

Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 5;} \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx = 7} \).

Giá trị của \(A = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} \) là

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\2x\sqrt {3 + {x^2}} ,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Biết \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = ae + b\sqrt 3  + c\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tổng \(T = a + b + 3c\) bằng

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.

Giá trị của \(P = 2a + b\) là

Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.

Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx = 8.} \)

Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {xf\left( {{x^2}} \right)dx} \) là

Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^3}} }}dx = \sqrt a - \sqrt b } ;\) với \(a,b\) là các số nguyên.

Giá trị của biểu thức \({a^b} + {b^a}\) bằng

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{1 + \cos 2x}}dx = a\pi + b\ln 2,} \) với \(a,b\) là các số hũu tỉ.

Giá trị của \(T = 16a - 8b\) là

Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.

Giá trị của abc bằng

Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).

Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)

Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa điều kiện \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2\cos x,\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Giá trị của \(N = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = x\left( {2 - x} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\)

Giá trị tích phân \(G = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) là

Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 - 2\cos 2x} \).

Giá trị tích phân \(P = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right)dx} \) là

Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\) \(\left( {m/s} \right)\), có gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \frac{3}{{2t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).\)

Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là