Bài tập Nguyên hàm, tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số  $y=x^4+x^2$ và  $y=3x^2-1$

Cho f(x) liên tục trên  $\left.0;5\right]$ thỏa mãn  ${\int }_0^{5}f\left(x\right)dx=5, {\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=1$, khi đó giá trị của  $P={\int }_0^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_3^{5}f\left(x\right)dx$ là:

Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ thỏa mãn ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx=1$. Khi đó giá trị của tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ là:

Cho tích phân  $I={\int }_2^3\frac{dx}{x\sqrt{x^3+1}}$. Xác định 3a+b biết  $I=a\ln (29-2\sqrt{27})+b\ln 3+a\ln 2$

Biết rằng $x^3+\sqrt{x}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Hỏi đa thức $6x-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$ là gì của hàm số f(x) ?

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m/s) thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left(t\right)=-4t+a (m/s)$ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được 32 mét thì vận tốc a ban đầu bằng bao nhiêu?

Cho số thực dương a, kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=4(x-a)e^x$, trục hoành và trục tung. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành, tìm a biết $V=4\mathrm{\pi }({\mathrm{e}}^2-5)$.

Nguyên hàm của hàm số  $y=e^{-2x+1}$ là:

Tích phân  $I={\int }_1^{2}x\ln xdx$ có giá trị bằng:

Giả sử f(x) là hàm liên tục trên R và các số thực a < b < c. Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu số $a\in (0;10\mathrm{\pi })$ sao cho ${\int }_0^a{\sin }^{3}x.\sin 2xsx=\frac{2}{5}$?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\left.x\right|$, trục tung, trục hoành và đường thẳng x=1 là:

 F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{\cos x}{1+\sin x}$, biết F(0)=1. Tìm F(x).

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc am/s². Biết ôtô chuyển động được thêm 30m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?

Họ nguyên hàm F(x) của hàm số  $f\left(x\right)=-\frac{2}{x}+\frac{1}{2^x}$ với  $x\ne 0$ là:

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=x^2+2\cos 2x-3$ thỏa mãn đồ thị của F(x), f(x) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung.

Nếu  ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\sin }^{n}x.\cos xdx=\frac{1}{48}$ thì n bằng:

Tính tích phân  ${\int }_0^a\frac{1}{x^2-1}dx$ với a>1,  $a\in \mathrm{ℝ}$.

Hàm số nào sau đây có đạo hàm là  $y\text{'}=2^x\ln 2+3x^2?$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{ax}$ (a>0), trục hoành và đường thẳng x=a bằng $k{a}^2, (k\in \mathrm{ℝ})$. Tính giá trị của tham số k.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=x\ln x$, trục hoành, đường thẳng $x=\frac{1}{2}$. Tính diện tích hình phẳng (H).

Tìm a để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\frac{3}{x}$ đường thẳng x=1 đường thẳng x=a (a>1) bằng 3.

Nếu  ${\int }_1^2\frac{1}{(x-3)(x-4)}dx=\ln \left(m\right)$ thì m bằng:

Cho hình phẳng (H) nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ (IV), được giới hạn bởi các đường $y=(x-1)e^x$, trục hoành, trục tung. Thể tích V hình tròn xoay sinh bởi (H) khi quay  (H) quanh trục Ox.

Biết  ${\int }_{}^{}x\ln (x-1)dx$ $=\frac{1}{m}{x}^2\ln (1-x)$ $-\frac{1}{n}\ln (1-x)$ $-\frac{1}{k}{(x+1)}^2+C$. Khi đó:

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos (2x-3)$ là

Biết hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và f(1)= $e^2$, ${\int }_1^{\ln 2}f\text{'}\left(x\right)dx=4-e^2$ Tính f(ln2). 

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{x+1}$ .Tìm F(x) biết F(0)=0. 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên  $\left.a;b\right]$, trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được tính theo công thức nào sau đây?

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số y=f(x)=xlnx, (x>0) biết rằng F(1)=2.