Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 2: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có đáp án

Câu 1

Tìm hai số x và y biết x/3 = y/4 và 2x + 3y = 36

Câu 2

Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau. Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa y giống nhau. Sau đó vẫn ý tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải.

Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ. Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k.

Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Cách 3. Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau.

Câu 3

Tìm hai số x và y biết

\frac{x}{2} = \frac{y}{3}

và

xy = 24

Câu 4

Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết

\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}

Chứng minh rằng :

\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}

Câu 5

Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 5 và 8. Diện tích bằng

1960{m^2}

. Tính chu vi hình chữ nhật đó.

Câu 6

Cho a, b, c, d khác 0 và không đối nhau từng đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số bằng nhau :

\frac{{2021a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2021b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2021c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2021d}}{d}

Tính

M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}

Câu 7

Cho a, b, c, d khác 0 ,thỏa mãn tỉ lệ thức

\frac{{21a + 10b}}{{a - 11b}} = \frac{{21c + 10d}}{{c - 11d}}

Chứng minh rằng

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Câu 8

Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết nếu cộng lần lượt từng độ dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ với 7; 6 ; 5.

Câu 9

Tìm x, y biết :

\frac{{1 + 2y}}{{18}} = \frac{{1 + 4y}}{{24}} = \frac{{1 + 6y}}{{6x}};

Câu 10

Tìm x, y biết :

\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{1 + 5y}}{{5x}} = \frac{{1 + 7y}}{{4x}}

Câu 11

Cho x, y thỏa mãn

\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{6x}}

. Tìm x, y

Câu 12

Tìm các số x, y, z biết rằng:

x:y:z = 3:4:5

và

5{z^2} - 3{x^2} - 2{y^2} = 594

Câu 13

Tìm các số x, y, z biết rằng:

3\left( {x - 1} \right) = 2\left( {y - 2} \right);4\left( {y - 2} \right) = 3\left( {z - 3} \right)

và

2x + 3y - z = 50

Câu 14

\frac{{2x}}{3} = \frac{{3y}}{4} = \frac{{4z}}{5}

và

x + y - z = 38

Câu 15

Tìm x, y, z biết rằng:

7x = 10y = 12z

và

x + y + z = 685;

Câu 16

\frac{{x + y}}{3} = \frac{{5 - z}}{1} = \frac{{y + z}}{2} = \frac{{9 + y}}{5};

Câu 17

\frac{{y + z + 1}}{x} = \frac{{z + x + 2}}{y} = \frac{{x + y - 3}}{z} = x + y + z

Câu 18

\frac{x}{{y + z + 2}} = \frac{y}{{x + z + 5}} = \frac{z}{{x + y - 7}} = x + y + z;

Câu 19

\frac{{xy + 1}}{9} = \frac{{xz + 2}}{{15}} = \frac{{yz + 3}}{{27}}

và

xy + yz + zx = 11

Câu 20

Cho

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

. Chứng minh rằng:

\left( {a + 2c} \right).\left( {b + d} \right) = \left( {a + c} \right).\left( {b + 2d} \right);

Câu 21

\frac{{{a^{2020}} + {b^{2020}}}}{{{c^{2020}} + {d^{2020}}}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {c + d} \right)}^{2020}}}}

Câu 22

Cho

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

. Các số x, y, z, t thỏa mãn

xa + yb e 0

và

zc + td e 0

Chứng minh

\frac{{xa + yb}}{{za + tb}} = \frac{{xc + yd}}{{zc + td}}

Câu 23

Cho tỉ lệ thức

\frac{{3x - y}}{{x + y}} = \frac{3}{4}

. Tính giá trị của tỉ số

\frac{x}{y}

Câu 24

Chứng minh rằng : Nếu

2\left( {x + y} \right) = 5\left( {y + z} \right) = 3\left( {z + x} \right)

thì

\frac{{x - y}}{4} = \frac{{y - z}}{5}

Câu 25

Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn

{b^2} = ac;{c^2} = bd

. Chứng minh rằng:

\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = {\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3};

Câu 26

Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn

{b^2} = ac;{c^2} = bd

. Chứng minh rằng:

\frac{{{a^3} + 8{b^3} + 27{c^3}}}{{{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}}} = \frac{a}{d}

.

Câu 27

Chứng minh nếu

a\left( {y + z} \right) = b\left( {z + x} \right) = c\left( {x + y} \right)

trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có

\frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}

Câu 28

Cho a, b, c thỏa mãn

\frac{a}{{2016}} = \frac{b}{{2018}} = \frac{c}{{2020}}

. Chứng minh rằng :

\frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{4} = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)

Câu 29

Cho

a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1

và

\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}

.

Chứng minh rằng:

{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}

Câu 30

Cho

\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}

. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên

A = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}

Câu 31

Cho dãy tỉ số bằng nhau :

\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = ... = \frac{{{a_{2019}}}}{{{a_{2020}}}} = \frac{{{a_{2020}}}}{{{a_1}}}

Tính giá trị biểu thức

B = \frac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_{2020}}} \right)}^2}}}{{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + ... + {a_{2020}}^2}}

Câu 32

Cho

\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}

và

a + b + c e 0

. Tính

P = \frac{{{a^{49}}.{b^{51}}}}{{{c^{100}}}}

Câu 33

Cho a, b, c là ba số dương, thỏa mãn điều kiện :

\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b}

Hãy tính giá trị của biểu thức

B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)

.

Câu 34

Cho a, b, c thỏa mãn

\frac{{a + b + c}}{{a + b - c}} = \frac{{a - b + c}}{{a - b - c}}

và

b e 0

.Chứng minh rằng :

c = 0

Câu 35

Cho x, y, z khác 0, thỏa mãn

\frac{{x - y}}{{x + y}} = \frac{{z - x}}{{z + x}}

. Chứng minh rằng

{x^2} = yz

Câu 36

Cho

\frac{x}{3} = \frac{y}{4}

và

\frac{y}{5} = \frac{z}{6}

.Tính giá trị biểu thức

A = \frac{{2x + 3y + 4z}}{{3x + 4y + 5z}}

(giả thiết A có nghĩa)

Câu 37

Cho các số a; b; c khác 0 thỏa mãn

\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}

Tính giá trị của biểu thức

P = \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}