Khi thay đổi độ lớn của điện trở người ta thấy ở giá trị $R_{1}$ công suất tỏa nhiệt của điện trở $R$ đạt giá trị lớn nhất $P_{max}$. Giá trị $R_{1}$ và $P_{max}$ là:

A.  

$10 \, \Omega \, ; \, 180 \, \text{W}$

B.  

$20 \, \Omega \, ; \, 90 \, \text{W}$

C.  

$10 \Omega ; 90 W$

D.  

$20 \, \Omega \, ; \, 180 \, \text{W}$

Đáp án đúng là: A

Công suất tiêu thụ:   $\text{P} = \text{UI} \cdot \cos \varphi = \dfrac{\left(\text{U}\right)^{2} \cdot \text{R}}{\left(\text{R}\right)^{2} + \left( \left(\text{Z}\right)_{\text{L}} - \left(\text{Z}\right)_{\text{C}} \right)^{2}}$
Sử dụng lí thuyết mạch R, L, C có R thay đổi.
Bất đẳng thức Cosi: Với 2 số dương a và b ta có   $\text{a} + \text{b} \geq 2 \sqrt{\text{ab}}$ . Dấu “=” xảy ra khi a = b.
Giải chi tiết:
Ta có, công suất tỏa nhiệt trên điện trở:
$P = U \cdot I \cdot \cos \varphi = I^{2} \cdot R$
$= \dfrac{U^{2}}{R^{2} + \left( Z_{L} - Z_{C} \right)^{2}} \cdot R = \dfrac{U^{2}}{R + \dfrac{\left( Z_{L} - Z_{C} \right)^{2}}{R}}$
Để    $\left(\text{P}\right)_{\text{max}} \Leftrightarrow \left(\left[\text{R} + \dfrac{\left( \left(\text{Z}\right)_{\text{L}} - \left(\text{Z}\right)_{\text{C}} \right)^{2}}{\text{R}} \right]\right)_{\text{min}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
$\text{R} + \dfrac{\left( \left(\text{Z}\right)_{\text{L}} - \left(\text{Z}\right)_{\text{C}} \right)^{2}}{\text{R}} \geq 2 \sqrt{\text{R} \cdot \dfrac{\left( \left(\text{Z}\right)_{\text{L}} - \left(\text{Z}\right)_{\text{C}} \right)^{2}}{\text{R}}} = 2 \left| \left(\text{Z}\right)_{\text{L}} - \left(\text{Z}\right)_{\text{C}} \right|$
Dấu “=” xảy ra   $\Leftrightarrow R^{2} = \left( \left(\text{Z}\right)_{\text{L}} - \left(\text{Z}\right)_{\text{C}} \right)^{2}$
$R = \left| \left(\text{Z}\right)_{\text{L}} - \left(\text{Z}\right)_{\text{C}} \right| = 20 - 10 = 10 \, \Omega$
Công suất cực đại:   $\left(\text{P}\right)_{\text{max}} = \dfrac{\left(\text{U}\right)^{2}}{2 \cdot \text{R}} = \dfrac{\left(60\right)^{2}}{2 \cdot 10} = 180 \, \text{W}$