Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $\left(log\right)_{2} \left( 5^{x} - 1 \right) . \left(log\right)_{2} \left( 2 . 5^{x} - 2 \right) \leq m$ có nghiệm $x \geq 1$?

A.  

$m \leq 6$.

B.  

$m < 6$.

C.  

$m > 6$.

D.  

$m \geq 6$.

Đáp án đúng là: D

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $\left(log\right)_{2} \left( 5^{x} - 1 \right) . \left(log\right)_{2} \left( 2 . 5^{x} - 2 \right) \leq m$ có nghiệm $x \geq 1$?
A. $m \leq 6$. B. $m < 6$. C. $m > 6$. D. $m \geq 6$.
Lời giải
Ta có: $\left(log\right)_{2} \left( 5^{x} - 1 \right) . \left(log\right)_{2} \left( 2 . 5^{x} - 2 \right) \leq m$ $\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} \left( 5^{x} - 1 \right) . \left[\right. 1 + \left(log\right)_{2} \left( 5^{x} - 1 \right) \left]\right. \leq m$
$\Leftrightarrow log_{2}^{2} \left( 5^{x} - 1 \right) + \left(log\right)_{2} \left( 5^{x} - 1 \right) \leq m$ (1).
Đặt $t = \left(log\right)_{2} \left( 5^{x} - 1 \right)$. Khi đó:

Bất phương trình (1) trở thành $t^{2} + t \leq m$ (2).
Xét hàm số $f \left( t \right) = t^{2} + t$ trên $\left[ 2 \textrm{ } ; \textrm{ } + \infty \right)$ có $f^{'} \left( t \right) = 2 t + 1 > 0 \textrm{ } , \textrm{ } \forall t \geq 2$.
Ta có bảng biến thiên:

Bất phương trình $\left(log\right)_{2} \left( 5^{x} - 1 \right) . \left(log\right)_{2} \left( 2 . 5^{x} - 2 \right) \leq m$ có nghiệm $x \geq 1$ khi và chỉ khi bất phương trình $f \left( t \right) = t^{2} + t \leq m$có nghiệm $t \geq 2$ hay $m \geq 6$.