Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là  $1 + 2i$?

 

A.  

$z^{2} - 2 z + 5 = 0$.

B.  

$z^{2} + 2 z + 3 = 0$.

C.  

$z^{2} - 2 z + 3 = 0$.

D.  

$z^{2} + 2 z + 5 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là  $1 + 2i$?

Để một phương trình bậc hai có nghiệm là  $1 + 2i$, phương trình đó phải có nghiệm phức liên hợp  $1 - 2i$. Do đó, ta cần kiểm tra phương trình nào trong các đáp án có nghiệm là  $1 + 2i$ và  $1 - 2i$.

Phương trình bậc hai có dạng tổng quát:  $az^2 + bz + c = 0$. Với nghiệm  $z_1$ và  $z_2$, ta có:  $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ và  $z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a}$.

Với  $z_1 = 1 + 2i$ và  $z_2 = 1 - 2i$: 
$(1 + 2i) + (1 - 2i) = 2$ =>  $-\frac{b}{a} = 2$ =>  $b = -2$. 
$(1 + 2i)(1 - 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5$ =>  $\frac{c}{a} = 5$ =>  $c = 5$.

Vì  $a = 1$, phương trình có dạng: 
$z^2 - 2z + 5 = 0$.

Do đó, đáp án đúng là: 
Đáp án A:  $z^2 - 2z + 5 = 0$.