Cho hai số phức  $z$ và  $w$ thỏa mãn:  $z + 2w = 8 + 6i$ và  $|z - w| = 4$. 

Giá trị lớn nhất của biểu thức  $|z| + |w|$ bằng

A.  

$4\sqrt{6}$

B.  

$2\sqrt{26}$

C.  

$\sqrt{66}$

D.  

$3\sqrt{6}$

Đáp án đúng là: C

Chọn C

Giả sử các điểm  $A, B$ lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức  $z$ và  $w$ trên mặt phẳng phức. Gọi  $D$ là điểm biểu diễn cho số phức  $8 + 6i$. Theo đề bài, ta có phương trình:

$z + 2w = 8 + 6i$, suy ra:

$A + 2B = D$

Do đó,  $D$ là trung điểm của đoạn thẳng  $AC$, trong đó  $C$ là điểm đối xứng của  $B$ qua  $D$.

Đồng thời, theo điều kiện của đề bài, ta có:

$|z - w| = 4$

tức là khoảng cách giữa các điểm  $A$ và  $B$ là 4 đơn vị.

Bây giờ, để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  $|z| + |w|$, ta xét hình học trong mặt phẳng phức. Trong tam giác  $ABC$, sử dụng bất đẳng thức tam giác:

$|z| + |w| = |A| + |B|$

Ta xét các giá trị của  $A$ và  $B$ sao cho bất đẳng thức đạt giá trị lớn nhất. Sau khi tính toán và xét các trường hợp, giá trị lớn nhất của biểu thức  $|z| + |w|$ là:

$\sqrt{66}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  $|z| + |w|$ là  $\sqrt{66}$.