Cho hàm số bậc ba $y = f \left( x \right)$. Hàm số $g \left( x \right) = f \left( x + 2 \right)$ có bảng biến thiên như bên dưới.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để tập nghiệm của phương trình $\sqrt{4 + m x^{2}} . f \left[\right. f \left( x \right) - m \left]\right. = 0$ có $5$ phần tử bằng

A.  

$0$.

B.  

$- 3$.

C.  

$- 1$.

D.  

$2$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số bậc ba $y = f \left( x \right)$. Hàm số $g \left( x \right) = f \left( x + 2 \right)$ có bảng biến thiên như bên dưới.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để tập nghiệm của phương trình $\sqrt{4 + m x^{2}} . f \left[\right. f \left( x \right) - m \left]\right. = 0$ có $5$ phần tử bằng
A. $0$. B. $- 3$. C. $- 1$. D. $2$.
Lời giải
Từ gt tìm được $f \left( x \right) = - x^{3} + 3 x^{2} - 2$có BBT

Phương trình $\sqrt{4 + m x^{2}} . f \left(\right. f \left( x \right) - m \left.\right) = 0 \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( \star \right)$, Đk $: 4 + m x^{2} \geq 0$
$\left( \star \right) \Leftrightarrow \left[\right. 4 + m x^{2} = 0 \text{ } \left( 1 \right) \\ \left{\right. \begin{matrix}4 + m x^{2} > 0 \\ f \left(\right. f \left( x \right) - m \left.\right) = 0\end{matrix} \left( 2 \right)$
TH1:
$\begin{array}{c}m=0\Rightarrow \left(1\right)VN\\ \left(2\right)\iff \left\{\begin{array}{c}4>0\\ \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)-m=1-\sqrt{3}\\ f\left(x\right)-m=1\\ f\left(x\right)-m=1+\sqrt{3}\end{array}\right.\\ \\ \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)=1-\sqrt{3}\to 3ngh\\ f\left(x\right)=1\to 3ngh\\ f\left(x\right)=1+\sqrt{3}\to 1ngh\end{array}\right.\end{array}$
TH2:
$\begin{array}{c}m>0\Rightarrow \left(1\right)VN\\ \left(2\right)\iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)=1-\sqrt{3}+m\left(3\right)\\ f\left(x\right)=1+m\left(4\right)\\ f\left(x\right)=1+\sqrt{3}+m>2\to 1ngh\end{array}\right.\end{array}$
Yêu cầu bài toán
$\left{ \begin{matrix}1 + m > 2 \\ - 2 < 1 - \sqrt{3} + m < 2\end{matrix} \Leftrightarrow \left{\right. \begin{matrix}m > 1 \\ - 3 + \sqrt{3} < m < 1 + \sqrt{3}\end{matrix} \\ \Rightarrow 1 < m < 1 + \sqrt{3} \Rightarrow m = 2$
TH3: $m<0;\mathrm{}\left(1\right)\iff x^2=\frac{-4}{m}\iff x=\pm \sqrt{-\frac{4}{m}}$
$\left(2\right)\iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)=1-\sqrt{3}+m\left(3\right)\\ f\left(x\right)=1+m\left(4\right)\\ f\left(x\right)=1+\sqrt{3}+m\left(5\right)\end{array}\right.$
$Ð\text{k} : 4 + m x^{2} > 0 \Leftrightarrow x^{2} > \dfrac{- 4}{m} \Leftrightarrow x \in \left(\right. \dfrac{- 2}{\sqrt{- m}} ; \dfrac{2}{\sqrt{- m}} \right)$ có đúng 3 nghiệm phân biệt $\in \left( \dfrac{- 2}{\sqrt{- m}} ; \dfrac{2}{\sqrt{- m}} \right) \left( \star \star \right)$
Nếu $1 + m + \sqrt{3} \geq 2 \Leftrightarrow m \geq 1 - \sqrt{3} ; m < 0$ không có số nguyên nào thỏa mãn $\Rightarrow 1 + m + \sqrt{3} < 2$
Nếu $1 + m + \sqrt{3} \leq - 2 \Rightarrow$ (3), (4), (5), mỗi pt 1 nghiệm và nghiệm > 3( không thỏa mãn)
Nên $1 + m + \sqrt{3} \in \left( - 2 ; 2 \right)$ $\iff -3-\sqrt{3}<m<1-\sqrt{3},\mathrm{}$có các giá trị m nguyên là $m \in \left{ - 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 \right}$
+) $m = - 4 \Rightarrow \left( 3 \right) \Leftrightarrow f \left( x \right) = - 3 - \sqrt{3}$có 1 nghiệm >3( không tm)
$\left(4\right)\iff f\left(x\right)=-3\to 1ngh>3\left(KTM\right)$
$\left( 5 \right) \Leftrightarrow f \left( x \right) = \sqrt{3} - 3$có 3 nghiệm pb trong đó có 1 nghiệm >2(KTM)
+) $m = - 3$
$\begin{array}{c}\\ \left(3\right)\iff f\left(x\right)=-2-\sqrt{3}\to 1ngh>3\left)KTM\right)\\ \left(4\right)\iff f\left(x\right)=-2\iff \left[\begin{array}{c}x=0\left(tm**\right)\\ x=3\left(ktm**\right)\end{array}\right.\\ \left(5\right)\iff f\left(x\right)=\sqrt{3}-2\to \left[\begin{array}{c}x=a\in (1-\sqrt{3};0)\left(tm**\right)\\ x=b\in (0;1)\left(tm**\right)\\ x=c>1+\sqrt{3}\left(ktm**\right)\end{array}\right.\\ \Rightarrow m=-3\left(tm\right)\end{array}$
+) $m = - 2$
$\begin{array}{c}\\ \left(3\right)\iff f\left(x\right)=-1-\sqrt{3}\to 1ngh>3\left)KTM\right)\\ \left(4\right)\iff f\left(x\right)=-1\to 3ngh\left(trongđó2nghthỏa**\right)\\ \left(5\right)\iff f\left(x\right)=\sqrt{3}-1\to 3ngh\left(trongđó2nghthỏa**\right)\\ \Rightarrow m=-2\left(Loại\right)\end{array}$
+) $m = - 1$
$\begin{array}{c}\\ \left(3\right)\iff f\left(x\right)=-\sqrt{3}\to 3ngh\left(trongđó2nghthỏa**\right)\\ \left(4\right)\iff f\left(x\right)=0\to 3ngh\left(trongđó2nghthỏa**\right)\\ \left(5\right)\iff f\left(x\right)=\sqrt{3}\to 3ngh\\ \Rightarrow m=-1\left(Loại\right)\end{array}$
Vậy $m = 2$ hoặc $m = - 3$, nên tổng các giá trị của $m$ bằng -1, chọn đáp án $\text{C}$.